重要 例題 249 数列の和の不等式の証明 (定積分の利用) 00000
は2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
7章
36
定積分と和の極限、不等式
3
log(n+1)<1+1/+1/27 +: + // <logn+1
n
基本 245,248
演習 254
指針 数列の和 1+ +
1 1
2 3
+...... +
は簡単な式で表されない。 そこで, 積分の助けを借りる。
n
すなわち, 曲線y=
1
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を
IC
証明する。
☑
解答
自然数んに対して, k≦x≦k+1のとき
y
x
1
1
1
1
I
VO
3k+1
x
k
式ア
常に
k+1
から
k
k+1
1
2112=1/2ではない
x
k+1dx
x
•k+1
k
k+1dx
dx Sk
1
k+1 dx
x
k
x
ck+1dx
よって
k+1
k XC
k
Ck+1 dx
x
k
0 123…nt
x
k
n-1 n+1
k+1
k
k+1
x
I
1
VIA:
k+1
n Ck+1
n k+1dx
k=1Jk
n+1
から
x k=1k
[** dx =f*** dx®-[10gx]"*
k=1Jk
x
1
= log(n+1)
であるから
log(n+1)<1+
式イ
A=1,2,…, nと
して辺々を加える。
[n+1
0 123… †n
x
B
=logx
n-1
© S² • + S²₂²
Cn+1
+･･･+
72
=S+
n+1
y=
1x
<
1
1k
+
2 3
+
n
Ck+1 dx
Cから
x
k+1
g h +1
k
=logx =logn であるから
[10gx]
ES** dx="dx =[log]=
x
x
n-1 1
k=1k+1
n_1k+1dx
①
<
①
k=1Jk
x
n
1 1
1
+ +......+
でん=1,2,…, n-1
として辺々を加える。
<logn
3
n
1 1
1
この不等式の両辺に1を加えて
+
+: ...+
<logn+1..
②
2
3
n
よって、①,② から, n≧2のとき
log(n+1)<1+
12
+
13
1
n
<logn+1
