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196(2) 9人を2人, 2人, 2人, 3人のグループに分ける分け方は何通りあるか
例題 196
グループの分け方
生徒9人を次の3つのグループに分ける分け方は何通りあるか、
(1) 4人,3人, 2人の3つのグループに分ける。
3人ずつ,3つのグループ A, B, Cに分ける。
(3) 3人ずつ,3つのグループに分ける。
(4) 2人,2人,5人の3つのグループに分ける。
(3) 生徒9人を a, b, c, d, e, f, g, h,
iとすると,グループに区別がないと
きの1通り {abc, def, ghi} が, (2)の
ように区別があると考えたときは右の
ように 3!=6(通り)となる.
つまり,求める場合の数をx通りとす。
ると,
が(2)の場合の数(Cg×。Ca) と等しくなる。
考え方
A
B
C
abc
def
ghi
def
abc
ghi
def
abc
ghi
abc
def
ghi
abc
def
def
ghi
ghi
x×3!
abc
人数が異なるのでグ
ループが区別できる。
4人,3人が決まれ
ば,残り2人は決ま
C4 通り
(1) 9人から4人を選ぶ選び方は,
残りの5人から3人を選ぶ選び方は,
9.8·7-6
4.3·2·1
解答
SC。 通り
よって,
sC×,Cs=
5.4·3
-=1260 (通り)
3.2·1
(2 9人からAに入る3人の選び方は,
残りの6人からBに入る3人の選び方は,
9.8.7
Cs×。C。=
9Ca 通り
る。
A, Bが決まれば、
Cも決まる。
6C。 通り
人1a
6·5·4
よって,
=1680(通り)
3·2·1
3.2·1
積の法則
ABC, ACB,
BAC, BCA,
(3)3つのグループを A, B, Cの区別がある部屋に入れ
ると考えると,入れ方は,
3!=3-2-1=6 (通り)
M
wm
したがって, 求めるグループの分け方をx通りとする
x×3!=Cg×。C。
-C&X&Ca_1680
CAB, CBA
と,(2)より,
の6通り
よって,
=D280(通り)
x=
3!
6
(4) 2人のグループを A, B, 5人のグループをCとする
と, 9人からAに入る2人の選び方は,
残り7人からBに入る2人の選び方は,
残りの5人はCに入るが, 実際はAとBを区別しな
A, Bは人数が同じ
なので,区別をしな
いとき,同じものと
みなすが,Cは人数
が違うので、つねに
C2 通り
C2 通り
い.
区別される。
よって,
C2×,C2-
756
=378 (通り)
区別しないグルーア
2!
2
A)
数の階乗で割る。
Focus
グループに区別があるかないかを考える
人SA
練習
(1) 7人を2人, 2人, 3人のグループに分ける分け方は何通りあるか。
D.368
