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基礎問
166 第6章 微分法と積分法
107 面積 (IV)
mを実数とする.
放物線y=x^²-4x+4………①, 直線 y=mx-m+2...... ②
について 次の問いに答えよ.
(1) ②mの値にかかわらず定点を通る.この点を求めよ.
(2) ① ② は異なる2点で交わることを示せ.
(3) ①② の交点のx座標を α, β(a <B) とするとき, ①,②で開
まれた部分の面積Sをα, β で表せ.
(4) Smで表し,Sの最小値とそのときのmの値を求めよ.
(1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず」 とくれば,
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます.
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します。
(3) 105ですでに学んでいますが, 定積分の計算には100 (2) を使います.
(4) 21 (解と係数の関係) を利用します.
|精講
(III)
解答
(1) ② より m(x-1)-(y-2)=0
これがmの値にかかわらず成立するとき,
x-1=0, y-2=0
よって,の値にかかわらず ② が通る点は,(1,2
(2) ①,②より, y を消去して,
x2-4x+4=mx-m+2 :: x²-(m+4)x+m+2=0
判別式をDとすると,
D=(m+4)²-4(m+2)
=m²+4m+8
=(m+2)²+4>0
よって, ①と②は異なる2点で交わる.
(3) 右図の色の部分がSを表すので
s={(mx-m+2)(x² - 4x+4)}dx
<mについて整理
<D>0 を示せばよい
YA
(2)
10
a1
2
A
BI
: − Sº²{x² − (m+4)x+m+2}dx
α, βは, x²-(m+4)x+m+2=0 の2解だから
S=-
s--(2-a)(x-8)dx=(8-a)"
紙面の都合で途中の計算は省略してありますが、100 (2)のようにき
ちんと書いてください。
(4) 解と係数の関係より,a+β=m+4,aß=m+2
(B-α)²=(a+B)²-4aß=(m+4)²-4(m+2)
..
参考
=m²+4m+8
. S = ((B-a) ²)² = (m² +4m+8)}
6
S=1/1/{(m+2)2+4} 12 より m=-2のとき 最小値
をとる.
6
(*) は, よく見ると (2)のDです. これは偶然ではありません.
ax²+bx+c=0 (a>0) の2解をα, β(α<β) とすると
-6-√D
2a
B=
(V) 801
ポイント
演習問題 107
Q=
-b+√D
2a
167
-b+√D
2a
: β-α=
-b-√D√D
2a
a
本間は α=1のときですから, (β-α)²=(√D)=Dとなるのは当然.
このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも
可能で,必ずしも, α+ β, αβ から求める必要はありません.
=
√(x-a)(x-B)dx=-1(B-a)³
・・・･･･ ② について,次の
y=4-x2.......①, y=a-x (a は実数)
ものを求めよ.
(1) ①,②のグラフが異なる2点で交わるようなaの値の範囲
(2) ①,②のグラフで囲まれた部分の面積が1/43 となるようなaの値
