基本 例題126 連立漸化式(2)
576
まと
基本118,125
D
(2) 数列 {an), (6n} の一般項を求めよ。
(基
antxbn=(a+xb,)y"-
(2) (1) から, 数列 {an+xb,}は公比yの等比数列となり
これにa,= bn+1ーb月を代入し, an を消去すると
bn+1=(1-x)b,+(a+xbi)y"-!
an+1=pa,+q"型の漸化式 (カ.564 基本例題 118)に帰着。
よって, ① の両辺をy"*1 で割ればよい。
解答
(解法2〕 [1つの数
に関する漸化式に帰着させ
る]の方針による解答
(1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(antbn)
=(5+x)an+(-4+x)bm
よって, an+1+xbn+1=y(an+xb,)とすると
(5+x)an+(-4+x)bn=yan+xybn
これがすべてのnについて成り立つための条件は
5+x=y, -4+x=xy
5+x=yを -4+x=xyに代入して整理すると
x+4x+4=0
したがって,求める x, yの値は
an+1=5an-46,
bn+1=an+bm
2から an=bn+1-bm,
an+1=bn+2-bn+l
これらをOに代入して
bn+2-6bm+1+96m=0
特性方程式x°-6.x+9=0を
解くと x=3(重解)
よって、p.573 基本例題 124
と同じ方針で,まず一般項。
を求める。
ゆえに
x=-2
c=-2, y=3
(2) (1) から
an+1-26n+1=3(an-2bn)
よって,数列{an-2bn} は, 初項a-26,=3, 公比3の等比
数列であるから
an-26n=3·3"11=3" すなわち an=2bn+3"
これに an=bn+1-bnを代入すると
bn+1=36,+3"
bn+1
(an+1= pantq" 型は両辺
q"+1 で割る(p.564 参照)。
bn
1
両辺を3*+1 で割ると
37+1
3"
3
b」
数列は,初項=--公差-の等差数列で
3"
3
3
3'
1_n-2
あるから
bn
3"
3
3
a,=3"-(2n-1), b,=3"-'(n-2)
Aan=26,+3" に代入。
よって
