1C
基本例題 64 最大 最小の文章題 (1)
BC=18, CA=6 である直角三角形 ABC の斜辺AB上に点Dをとり, Dか
ら辺BC とCA にそれぞれ垂線DE と DF を引く。 △ADF と △DBE の面
積の合計が最小となるときの線分 DE の長さとそのときの面積を求めよ。
o
|基本 58
CHART O
S
OLUTION
文章題の解法
最大·最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
DE=x とおくと、, 相似な図形の性質から△ADF, ADBE はxの式で表される。
また, xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
3
解答
DE=x とし, △ADF と △DBE の面
積の合計をSとする。
0<DE=FC<AC であるから
A
8
D
ロF
(辺の長さ)>0
B
E
0<x<6
*xのとりうる値の範囲。
AF=6-x
AABCの△ADF であり, △ABC:△ADF=6°: (6-x)?
や相似比が m:n
面積比は m':n。
AABC=
18-6=54 であるから
ャ三角形の面積は
;×(底辺)×(高さ)
AADF=
.54=)
6°
(6-x)
別解長方形 DECFの面積
をTとすると,Tが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x)から
T=x-3(6-x)
=-3(x-3)*+27
0<x<6 から, x=3 でT
同様に,AABCSADBE であり, △ABC: ADBE=6°: x?
よって
ADBE=
3
ゆえに,面積は
54
S=△ADF+△DBE
(6-x)+x}
は最大値 27をとる。
よって、DE の長さが3の
とき, Sは最小値
27
=3(x*-6x+18)
=3(x-3)+27
よって, ① の範囲のxについて, Sは x=3 で最小値27をと
る。ゆえに, DE の長さが3のとき, 面積の最小値は 27 である。
0
3
6
6-18-27=27
2
をとる。
の
2次関数の最大·最小と決定
