13行目の∠PCM=∠COMはなぜ分かるのですか、 教えてください🙏

「円0の直径でない2つの弦 AB, CD について, 弦 ABは弦 CDを2等分す る。C, Dにおけるこの円の接線の交点をPとするとき, 4点0, A, B, P (291 方べきの定理の逆 弦 の直径でない2つの弦 AB, CD について, 弦ABは弦CDを2等分す は同一円周上にあることを証明せよ。 逆向きに考える 「4点0, A, B, Pが同一円周上にある」ことを示すには, 次の(ア)~()の いずれかを示せばよい。D (7) 円周角の定理の逆 (イ) 対角の和が180° (ウ)方べきの定理の逆 A 0 P 0 P B B B 「角についての条件がない 本間では 条件に交わる2つの弦 AB, CDがある (ウ)方べきの定理の逆 を考えてみる。 ロ Action》 4点が同一円周上にあることは, 方べきの定理の逆を用いよ 園弦CD の中点をMとする。 弦AB と CD について,方べき の定理により Mは AB とCD の交点で ある。 MA·MB = MC· MD 30以 MC = MD より てVDE 示したい式は MA·MB = MO· MP Oより、MC = MO·MP を示せばよい。 MP:MC = MC:MO と比の形で見ることで APMCと△CMO の相似 を示そうと考える。 @Action 例題 272 「線分の長さの積は, 相似 比を利用せよ」 MA·MB = MC° ここで,APCD において, PC = PD, MC = MD より …0 B D OG PM 1 CD よって, OP はCD と M で交わ る。 APMC と △CMO について, ZPMC = LCMO = 90°,. ZPCM = ZCOM より APMC ACMO よって、PM: CM BB CM° = OM· MP …(2) = CM:OM より 2 PMC= Z MC9+ トMoc (外角) Pco= L pCM+ムMCO MCO- APce-<PcM MA· MB = MO· MP の, 2より は同一円周上にある。 トP MC= 2fco- APCM +ムMOQ TiHAから対辺 BC またはその延長上に下ろした垂線を ADとす 8章|1円の性質 思考のプロセス一

1枚目の写真の問題では、a,b,cはそれぞれ≠0と置いているのに、なぜ2枚目の写真の問題ではa,b,cは≠0としないのですか？

△ABC の3つの頂点から,それぞれの対辺に下ろした垂線 AL, 7 BM, CN は1点で交わることを証明せよ。 証明 △ABC が直角三角形ならば,明らかに3本の垂線は直角の頂点で 交わる。 次に,△ABC が直角三角形でないならば,直線 BC をx軸,垂線 AL をy軸にとると, A(0, a), B(6, 0), C(c, 0) とおける。 ただし,aキ0, bキ 0, cキ0 である。 VA }A(0,a) 直線 AC の傾きは-であるから, a M C N 垂線 BM の方程式は y=(x-b) B(6,0) 0| C(c,0)x a また,直線 ABの傾きは であるから,垂線 CN の方程式は 6 一 6 y= a (x-c) bc 直線 BM, CN はともにy軸上の点(0, - )を通る。 a したがって,3本の垂線 AL, BM, CN は1点で交わる。

1枚目→問題 2枚目→解説 (2)の解き方が分かりません。 そもそも三角形の成立条件がわかりません。 よろしくお願いします🙏

*328 AB=AC=1, BC=2x である二等辺三角形 ABC に内接する半径rの円 がある。 アをxを用いて表せ。 内接円の面積を最大にするには辺BC の長さをいくらにすればよいか。 xのとりうる値の範囲を求めよ。

青矢印の所の途中式を教えて欲しいです。

ポー8/36+32 =0 よって 解の公式により b>0 だけではし 2 と43-4のうち。 が解なのか判断で 6=- (-4/3)±V(-4/3 )-1·32 = 4/3 ±4 最大角 Bの対辺6が最大辺となるから

230番がわからないです。 証明の過程はわかるのですが，なぜ①、②、③がわかったところでAE:ED＝CF:FAが証明できるのでしょうか？ 教えてくださるとありがたいです!!!

そa:そa=6:4:5 2230 ZBAC が直角の直角三角形 ABC において,点Aから 対辺BC に垂線 AD を下ろし,ZABC の二等分線が AD, AC と交わる点をそれぞれ E, Fとする。このとき, AE:ED = CF:FA が成り立つことを証明せよ。 AF:FE:EG =a: 3 230 AABD において, 線分 BE は ZABD の二等分線であるから …の E F AE:ED = BA:BD AABCにおいて, 線分BF は LABCの二等分線であるから …2 CF:FA = BC:BA B D C また,AABDと ACBA において ZADB = ZCAB = 90° 解答 225 ホ Bは共通 よって T|例題| 線分比と面積比 23 教 p.114 問題2 AABD o ACBA AABC において,辺 AB, BC の中点をそれぞれL, M とし,線分 AM と CLの交点をNとする。このとき,次 …3 A ゆえに AB:BD = CB:BA の, 2, 3より AE:ED = CF:FA

何故、赤の線の式になるのか教えてください🙏

9 F E の比を求めよ。 1) AF:FB (2) FQ:QE 4 BI 三角形の各頂点と対辺の内分点 (または外分点)を通る3直線が 1点で交わるような右の構図。 あ い →チェバの定理 い お = 1 か の K 図を分ける 求める比と条件の比から,右の構図を抜き出して考える。 分点 (1) 三角形 (2) 三角形 Action》 3直線が1点で交わるときは, チェバの定理を用いよ 園(1) AABC において,チェバの定理より △ABC において,分点を F, D, Eとみる。 AF BD CE 11 FB DC EA BE は ZB の二等分線であるから 1角の二等分線と比の定理 CE:EA = BC: BA 2 CE BC 6 2 BD 2 EA BA 9 3' DC 1 これらを①に代入すると AF 2 AF 3 2 =1より 3 FB 1 FB 4 HA AO よって AF:FB = 3:4 (2) AAFE において,チェバの定理より AB FQ EC BF QE、 CA AAFE について,3直線 AQ, FC, EB が1点Pで 交わっていることから, チェバの定理が成り立つ。 AAFE において,分点を B, Q, Cとみる。 =1 AB 3+4 7リEC 2 2 2+3 5 BF 4° CA これらを2に代入すると FQ QE 10 7 FQ 2 4°QE'=1より FQ:QE = 10 :7 7 5 よって II II のNロセK

三角形の重心の問題です。 GEの長さを求める方法がわからないので、 解説していただけると助かります。

A D 15-- {E G B C

数B ベクトルと図形です。 (2)の解説の3行目の脚注の｢両辺の.....が消し合う。｣というところがなぜそうなるのかがわかりません。 教えてください🙇‍♀️

基本例題31 る。 指針>点0から直線に下ろした垂線の足 とは, 下ろした垂線と直線との交点のこと。 |鋭角三角形 ABCの外心0から直線 BC, CA, ABに下ろした垂線の足を, それ °73 ぞれ P, Q, R とするとき, OF+20Q+30R=0 が成立しているとする。 三角形 ABC の外心0 に関するベクトルの問題 429 OA+40B+3OC=0 が成り立つことを示せ。 内積 OB-OC を求めよ。 (3) ZA の大きさを求めよ。 【類京都大) 基本 15 1)まず OORをA Cで表すことを考える。 ここで,円の中心から弦に引いた垂線は,弦を2等分する。したがって, 3点P, Q, R は、それぞれ辺BC, CA, AB の中点である。 (2)(1)の等式から |50A|=|40B+30C|として, 両辺を2乗すると, O·OC が出てくる。 ここで,△ABC の外心0→OA=OB=0C を利用。 (3) ZA は弧 BC に対する円周角→2×(円周角)3 (中心角)=DZBOC から。 1章 こきは る。 は辺 AB上 の中国。 解答 (1) 3点P, Q, R は,それぞれ辺 BC, CA, AB の中点であるから A OB+OC OQ= 2 OC+OA Q 4三角形の外心 一辺の美 に等分線の交点。 OP= R 0 2 OA+OB OR= 2 C B P 15AL これらをOF+20Q+30R=ó に代入 OB+OC 分割) OA+OB +2(OC+0A) =0 2 して 両辺に2を掛けて整理する。 (数学 2 2 ゆえに 50A+40B+3oC=ó 50A=-(40B+30C) 5|0A|=|40B+3oC| 25|0A=16|0BP+240B·OC+9|ocP| 両辺の (2)(1)の結果から 4ka|=|||a|(k は実数) が消し合う。 よって 両辺を2乗して OB-OC=0 1OA|=|0B|=|oC|であるから (3)(2) から (3) 鋭角三角形の外心と頂点 は,その頂点の対辺に関し て同じ側にあるから, 鋭角 三角形の外心はその内部に ZBOC=90° ZAと ZBOC は弧 BC に対する円周角と中心角の関係にあ リ, AABC は鋭角三角形であるから, 弦BCから見て点A と点0は同じ側にある。 DA+8A ある。 1 よって ZA=-BOC= ×90°=45° 3点A, B, Cが点0を中心とする半径1の円周上にあり, 130A+120B+5OC=0 を満たす。 ZAOB=a, ZAOC=βとするとき (1) OB」Cであることを示せ。 「目崎士) 位置ベクトル、ベクトルと図形

蛍光ペンで引いてあるところを教えてください🙇‍♀️

三角形OAB において OA=a, OB=5とし,al=5, 16|=4, ZAOB=60° とする.点Aから ●8 内積/垂直(2) 対辺 OB に下ろした垂線を AH とし, ZAOBの2等分線が線分 AH と交わる点をCとする 0 ū0 0 に,線分 BC の延長が辺 OA と交わる点をDとする.このとき, O (2) OH= 15 (4) OD (日大·生産工) a (3) OC= a+ 垂線の足のとらえ方 足をHとする。OH を OX と OY で表そう.OH=+OXとおくと,HY=OY-OH 右図のように,直線 OX に点Yから垂線を下ろし,その 4 OY-OX=t|oxP と OX が垂直だから,(OY-tOX).OX=0 OX-OY 1OXP OX-OY -OX となる。 1OXP これよりt= (これは実数),OH X 0 H ■解答■ a|=5, |=4, ZAOB=60° (1) a-b=la|6|cos60°=5·4· B(5) 前文の OH の式を正確に覚えら れるならそれを使ってもよいが, 全OH=sb とおいて(前文の式を) 導くように解く方が間違えにくい だろう、なお, △AOH に着目す =10 4 (2) OH=sb とおく. AHLOBより AH·OB=0 /H (OH-OA)·OB=0 0=9-(2-9S) 30° 30° D 5 10 よって,s= -- OF- 5 OH=5 5 となる。 0 42 8 8 ると OH=OAcos 60°= 2 (3) OC は ZAOB の2等分線であるから AC:CH=OA:OH であり, ZAOH=60° より OA: OH=2:1である。 これを用いて、 「OH は OB と同じ向きで大きさ つまり AC:CH=2:1で(2)より OH=5だから が のベクトル、OB と同じ向 きの単位ベクトルは oC--OA+OH- -OB だか 5 3 12 (a )+01 24 ら OH-5 1 -5m。 (4) Dは直線 BC上にあるので, -OB -OB」 8 としてもよい。 OD-OB+BC-OB +(OC-OE)- ++(+万ー) 5 b-b 12 OG ュー1) と表すことができる.Dは直線 OA上にあるから①の6の係数は0であり, 5 1+t 12 12 t= 7 =0 4→ これを①に代入すると, OD= a= -a 7 →注 解答前文の OH には名前がついていて, 「OHは, OY の OX への正射影 ベクトル」(OXに垂直な方向から OY に光を当てたときに OX 上にできる OY の影が OH, という意味). AOR 08 浦習 題(解答けn?6)

234番の垂心の求め方がわかりません、 教科書に乗っている説明文に合わせて解いても 解けないのでわかりやすく教えてくれませんか🙇⋱

2234 右の図において, 点Oは正六角形 ABCDEF A 教 の3本の対角線 AD, BE, CF の交点である。△OCE ABG B F 教 の外心と垂心の位置はそれぞれどこか。 OCE C E 243 D