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基本例題 1992 曲線に接する直線
2つの放物線y=-x,y=x²-2x+5の共通接線の方程式を求めよ。
基本 196
指針 1つの直線が2つの曲線に同時に接するとき, この直線を2つの曲線の共通接線
① 一方の曲線 y=f(x) 上の点A(a, f(a)) における接線の方
程式を求める。
い
2② 1 で求めた接線が他方の曲線 y=g(x) と接する条件から,
gyor
αの値を求める。(()(2A)
接する重解の利用。
他にも検討で示したような解法も考えられる。
解答
y=-x2 に対して
y'=-2x
よって, 放物線y=-x2 上の点
(a, -α²) における接線の方程式は
y-(-a²)=-2a(x-a)
.........
接する
Ay
接する
y=x2-2x+5
[O y=-x2 x
(a, ,-a²)
(30
すなわちy=-2ax+a²
この直線が放物線y=x²-2x+5にも
接するための条件は、 2次方程式
x2-2x+5=-2ax+α² すなわち
x²+2(a-1)x-a²+5=0
ゆえに,②の判別式をDとすると
D=(a-1)^-1・(-α²+5)=2a²-2a-4=2(a+1)(a−2)
係数を比較して
la²=-62+5
よって, 求める共通接線の方程式は
M
②が重解をもつことである。
D=0
よって (a+1)(a-2)=0 ゆえに
a=-1, 2
この値を①に代入して、求める共通接線の方程式は
y=2x+1,y=-4x+4
検討 2つの曲線のそれぞれの接線を一致させて解く
上の例題の別解 (恒等式の考えを利用する。)
y=-x2上の点(a, -d²) における接線の方程式は
y=x2-2x+5 上の点 (6, 62-26+5) における接線の方程式は
y=-2ax+α²
2直線①②が一致するとき, その直線は共通接線となる。
-2a=2(6-1)
25
重要 200 演習 224
IEROS J
y-(b2-26+5)=(26-2)(x-b) すなわち y=2(6-1)x-62+5
M
これを解いて
y=2x+1,y=-4x+4
y=g(x)\
A
接線が求めやすい方の曲線を
指針の手順①のy=f(x) と
するとよい。
y-f(a)=f'(a)(x-a)
接する
y=x²-2x+5と
y=-2ax+α² を連立。
接する重解
~共通接線
y=f(x)
(a,b)=(-1,2),(2,-1)
