写真の★をつけたところがどうやって考えているのかがわかりません…

方 1 AからBへの経路は, C地点を通る場合と通らない場合の 2つのバターンがある。 融点に最短経路で行くとき, 次のような道順は全部 「右の図のような格子状の道路網がある.A地点から 最短経路の問題2) 202 間のような格子状の道路網がある.A地点から B 何通りあるか C地点を通らない場合 C地点もD地点も通らない場合 D C よう A そこで,n(C)=n(U)-n(C) を利用して、 (Cを通らない道順)= (AからBへの全道順)-(Cを通る道順) と考える。 0 coD=CUD より, n(CND)=n(CUD)=n(U)-n(CUD) を利用。 (CもDも通らない道順)3D(AからBへの全道順)- (CまたはDを通る道順) ここで, n(CUD)=n(C)+n(D)-n(CnD)より, (CまたはDを通る)=(Cを通る)+(Dを通る)- (CかつDを通る) w ■ 1) A地点からB地点へのすべての道順は, B -=462 (通り) 6!5! B |AC C地点を通る道順は, 4! 6! 2!2! -=120 (通り) 3!3! よって, 求める道順は, (2) D地点を通る道順は, A 462-120=342 (通り) 3! 1!2! 7! C地点を通る道順 =105(通り) 4!3! (A→Aの道順) 4! 通り C地点かつD地点を通る道順は, 2!2! 4! -X 2!2! 2! 3! (A'→B'の道順)1通り -=36 (通り) 1!2! 第6 したがって, C地点またはD地点を通る道順は, 120+105-36=189(通り) 6! 通り 3!3! (B'→Bの道順) よって,求める道順は, Focus (1)より,C地点を通る道 順は 120 通り 462-189=273 (通り)

なぜOM=MA=MBと言えるのか教えてください🙇‍♀️

526第10章 図形の性質 Check! 例題 移動する定線分の中点の軌跡 292 直交する定直線 XX', YY'の交点を0とする。 いま,点Aが定直線 XX'上を,点Bが定直線 YY'上を,線分AB=a (一定)の関係を満た Y B M A X X 0 しながら動く。 このとき,線分AB の中点Mの軌跡を求めよ。 Y1 考え方点Mは直角三角形の斜辺ABの中点 → OM=MA=MB YIB 解答》 A, Bが0に一致しないとき, 1 OM=;AB=-a (一定) M? 点Mは直角三角形の斜 辺 AB の中点 が成り立ち,A, Bが0と一致するとき も明らかに成り立つ。 したがって、条件を満たす点は, 0を 0 中心とし、 aを半径とする円周上にあ Y1 る。 また,この円周上の任意の点(ただし, XX', YY'との交 点を除く)をPとすると,PO=PA, PO=PB を満たすO と異なる点 A, Bがそれぞれ XX', YY' 上にとれて, 2OPA+ZOPB=(180°-2/POA)+(180°-2/POB) =360°-2(ZPOA+ZPOB) =360°-2ZAOB=180° したがって,3点 A, P, Bは一直線上にあり, AP=BP=OP=;aとなるから条件を満たす。 30円 PがXX'上, YY'上にあるときも明らかに条件を満たす。 よって,求める軌跡は, 0を中心とし,一のを半径とする 円である。 Focus, 定点0からの距離が一定である点の軌跡は円である

()内の語句を使って文章をつくる問題です 解答お願いします

■ Focus on Form Describe each picture below using the words in ( )in Picture A (had been singing, opening, closing) dheen singing KARAOKE S OPEN |I:00 CLOSE 19:00 Yote aril Hejer ne e

黄色い線を引いている所が分かりません。なんで、完全平方式の時、1次の式になるんですか？

102 /第2 2次式の (イ) x*-16 例題 49 (別解) x+ x°+x イク) 3x-x-1 x こ を定めよ。 12) まずxの2次式とみて因数分解し,これがx. , 別解では、 「与えられた式が1次式の積で表される」 分解 の形 ー(-1)土\(-1)?-4·3·(-1) 2-3 解答 (1)(7) 3rーxー1=0 の解は、 解の公式を用。 6 X= よって, +V13 1-V13 ーュー1-ォ-1ー1-E) 3xーx-1=3| (イ) x-16=(x°-4)(x^+4)=(x-2)(x+2)(x°+4) *+4=0 の解は, x=-4 より, x=±2i したがって, よって, ポー16=(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i) (2) xの2次方程式 x+(y-9)x-6y?+ky+20=0 ① の判別式をDとすると, ①の解は, 6 *の係数3な。 6 いこと ケ 0<0 x°+4=(x-2i)(x+2i) ………の -(y-9)土/D_9-y±/D 8) 5-98 =X 2 ニ 2 したがって,与式は, 9-y+VD (与式)={x- と因数分解できる。 D=(y-9)?-4-1-(-6y?+ky+20) =-18y+81+24y?-4ky-80 =25y?-2(9+2k)y+1 したがって,与式がx, vの1次式の積になるのは, 根号の中のDがvの完全平方式であるときである。 yについての2次方程式 25y?-2(9+2k)y+1=0 の判別式を D,とすると, D、=0 である。 9-yーVD x- 2 2 Focus yの2次式 注》複 完全平方式と aly-a}( け)の形のこ 数 1 =4(+9k+14)=4(k+7)(k+2) したがって, D =(9+2k)-25-1=4k°+36k+56 完全平方式だ 重解をもつ →(判別式)= 練習 よって, k=-7, -2 4(k+7)(k+2)=D0 49 「k=-7 のとも。 D=(5y+1 -2のとも。 楽

いわゆる難関国公立大の整数の対策をする上での質問です 整数の分野別標準問題精講は何問くらい収録されていますか またFocus Goldの該当範囲のレベルアップ問題と比較するとどちらがいいとかありますか

（1）の（ウ）で、3の倍数になるのは、各位の数の和が3の倍数になる時であるという事はわかるのですが、各位の桁が3桁になるというのは、どのように考えたら良いのでしょうか？普通に足してみて3の倍数である事を確かめるのですか？もう少し簡単にわかる方法があるのですか？

この場合は,0のときと 2,4のときに分けて考えるとよい。 (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。 (2) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る (ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数のときである。(p.419参照) 336 第6章 場台 2 順 Check 列 337 (i) 一の位が2, 4のとき 百の位は0と一の位の数以外の4通り 十の位は百の位と一の位の数以外の4通り したがって、 よって,(i), (i)より,偶数は、 例題 185 整数を作る問題(1) このとき,次の数の個数を求めよ. 次異なる整数 百の位が0以外にな ることに注意する。 A2 偶数 (ウ) 3の倍数 4×4×2=32(通り) 20+32=52(個) ()3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数 のときである。 和が3の倍数になる3つの数の組は、 (0, 1, 2}, {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5), (1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4), {3, 4, 5} である。 {0, 1, 2} は,102, 120, 201, 210 の4通り {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5} も同様に4通り したがって, 4×4=16 (通り) {1,2, 3} は,123, 132, 213, 231, 312, 321 の とき,異なる整数の和はいくつになるか。 考え方(1) (7) 0を含む6つの数字から3桁の整数を作る ときは,百の位は0にならないことに注意 く3桁の数) (2桁の数 百 十 ■ロロ Lo以外 百 + (イ) 偶数になるのは, 一の位が, 偶数,つまり、 0, 2, 4の場合である。 する。 0ロロ 百の位が0以外にな ることに注意する. 百,十,一の位の数を a, b, cとすると, 100a+106+c=3×33a+a+3×36+b+c 6通り {1, 3, 5}, (2, 3, 4), {3, 4, 5} も同様に6通り したがって, よって, =3(33a+36)+(a+b+c) より, 6×4=24(通り) 16+24=40(個) 3の倍数になるのは, a+b+cが3の倍数のときである。 (2) 百の位が1となる3桁の整数 は,右のように20個ある。 このとき,各位で, 0~5の 数がいくつ使われているか考 えるとよい。 3桁の整数は 百|十 百 百|+ 1|5 (2) 百の位には1~5の数字が各 20回ずつ現れる。 十の位には, 0の数字が合計20回, 1~5の数字が各 16回 1 0 1 3 0 百の位が1の場合, 十の位に0が現れる のは4回,残りの2 ~5も同様。 0 2 2 4 4 ずつ現れる。 ーの位も十の位と同様である。 したがって, (1+2+3+4+5)×20×100 百の位 +(1+2+3+4+5)×16×10 十の位 +(1+2+3+4+5)×16×1 の位 =(1+2+3+4+5)×(2000+160+16) =15×2176=32640 よって,求める和は, 32640 33 5 5 4 | 20個 2 0 4 0 100a+106+c で表されるこ とに注意する。 第6章 0は省略している。 3 2 m 4 3 M 5 5 解答(1)(ア) 百の位は0以外の数なので, まず, 0以外の数で 百の位を考える。 5通り 残りの位は,百の位の数以外の5個から2個 取り出して並べればよいので, sP2=5×4=20(通り) よって,求める3桁の数は, 十, 一の位は0も入 れて考える。 Focus n個からr個を取る順列の総数は,P, 通り n桁の整数 =→最高位は0以外の数となる 5×20=100(個) |5×P2 (イ) 偶数は, 一の位が0のときと一の位が2,4のと きに分けて考える。 (i)一の位が0のとき 残りの位は, 0以外の5個から2個取り出 して並べればよいので, sP2=5×4=20(通り) 0, 1, 2, 3, 4, 5から作られる3桁の自然数について, 次のような数の個数また 練習 100 は和を求めよ、ただし、同じ数字は1度しか使わないこととする。 185 /(3))奇数の和 (2) 5の倍数の個数 9 (1) 奇数の個数 →p.345DD 1 LO 23

（1）の（ウ）のような問題を考える時に、よく一個忘れてしまったりします。これで全部だと確かめる方法などあれば教えて頂きたいです。🙇🏻‍♀️

2 順 neck ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数 列 (ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数のときである.(b.419参照) (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る、 (i)一の位が2,4のとき 百の位は0と一の位の数以外の4通り 十の位は百の位と一の位の数以外の4通り したがって、 4×4×2=32 (通り) よって,(i), (i)より,偶数は、 整数を作る問題(1) 例題 185 このとき,次の数の個数を求めよ.oba ak a 異なる整数 百の位が0以外にな (ウ) 3の倍数 ることに注意する。 Y42 偶数 20+32=52(個) のときである。 和が3の倍数になる3つの数の組は, {0, 1, 2}, {0, 1, 5}, {0, 2, 4), (0, 4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 3,5), {2, 3, 4), (3, 4, 5} とき,異なる整数の和はいくつになるか、 考え方(1)(ア) 0を含む6つの数字から3桁の整数を作る ときは,百の位は0にならないことに注意 (3桁の数> (2桁の数 百 + 0 ロロ 百 ■ロロ Lo以外 (1)偶数になるのは, 一の位が, 偶数,つまり, 0, 2, 4の場合である。 この場合は,0のときと 2,4のときに分けて考えるとよい である。 {0, 1, 2} は, 102, 120, 201, 210 の4通り {0. 1, 5}, (0, 2, 4}, {0, 4, 5}も同様に4通りることに注意する。 したがって, {1. 2, 3} は,123, 132, 213, 231, 312, 321 の する。 百の位が0以外にな 4×4=16 (通り) 百,十,一の位の数をa, b, cとすると, 100a+106+c=3×33a+a+3×36+6+c より, 6通り {1, 3, 5}, (2, 3, A}, {3, 4, 5} も同様に6通り したがって, と よって、 6×4=24(通り) 16+24=40(個) 自ロ) ae 3(33a+36)+(a+b+c) 3の倍数になるのは, a+b+cが3の倍数のときである。 (2) 百の位が1となる3桁の整数 は,右のように 20個ある。 このとき,各位で,0~5の 数がいくつ使われているか考 えるとよい。 3桁の整数は 100a+106+c で表されるこ とに注意する。 百|十 1|3 百|十 百|十 (2) 百の位には1~5の数字が各20回ずつ現れる。 十の位には, 0 の数字が合計 20回、 1~5の数字が各 16回 1 0 2 0 1 5 0 百の位が1の場合, 十の位に0が現れる のは4回、残りの2 ~5も同様、 3 2 2 4 4 ずつ現れる。 ーの位も十の位と同様である。 したがって, (1+2+3+4+5)×20×100…百の位 +(1+2+3+4+5)×16×10 十の位 +(1+2+3+4+5)×16×1 の位 =(1+2+3+4+5)× (2000+160+16) 3 5 5 4 20個 2 0 4 0 3 2 3 第し 4 M 3 0は省略している。 5 5 M まず, 0以外の数で 百の位を考える 解答(1)(ア) 百の位は0以外の数なので, 5通り =15×2176=32640 残りの位は,百の位の数以外の5個から2個 取り出して並べればよいので, P2=5×4=20(通り) よって,求める3桁の数は, よって,求める和は, 32640 十, 一の位は0も入 Focus O○○ れて考える。 n個からr個を取る順列の総数は,P,通り n桁の整数 -→ 最高位は0以外の数となる 5×20=100(個) 5×P2 (イ)偶数は, 一の位が0のときと一の位が2,4のと きに分けて考える。 (i) 一の位が0のとき 残りの位は,0以外の5個から2個取り出 して並べればよいので, P2=5×4=20(通り) 練習 T00は和を求めよ、ただし、同じ数字は1度しか使わないこととする。 (奇数の和 10 0, 1, 2, 3, 4, 5から作られる3桁の自然数について, 次のような数の微数また 180 (2) 5の倍数の個数 9 (1)奇数の個数 →p.345|8 1 337

至急です （　　）に何が入るのかわかりません． よろしくお願いします！！

TR. 48-51 Reading 2 aud sdt To 19dmun ar) bas 0 asw anisy 1o smo s 「黄金の腕を持つ男」 James Harrison とは,一体どのような人物なのでしょうか。 dyo James Harrison is known as “the man with the golden arm” and has saved millions of 9eud no anisu sbin o lle obr law lives. When people hear this, they may think he is a kind of superhero with special powers. In fact, he looks like ( ① ) in Australia. However, he has something special: his blood. James was only fourteen years old when he had big surgery*. The surgery was hceKGug Coop 5 Successful, but he lost so much blood that he needed a blood transfusion*. 。This experience o AC taught him the importance of blood. He made his first blood donation* a few weeks after his 18th birthday. Soon after that, a special antibody was found in his blood. An antibody woH (S 3 au alnsbuie is a kind of protein* the body makes when it finds something bad in the blood. Every year, thousands of babies in Australia were suffering from* a type of blood 10 disease. Some babies even died before birth, while (④ ) were born Toortoe serious brain abute eri od gnib1o0oA (ト damage. The antibody found in James's blood can cure* this disease, and so he has ! with bluorta tsdhw Joorbe orly donated his blood more than 1,000 times over the past sixty years. His blood has helped to save about 2.4million babies, and his own grandson was one of them. In one interview, he said, “An hour of your time is a lifetime* for someone else," ( 63nineai. 15 James Harrison, the man with the golden arm, never gives up helping ( 6) さ史の素 関歩限のア い(ー ou とに、次の日本を英語にしなる (229 words)

赤く囲っているところですが、この円の公式がどうやってこうなるのか気になります。教えてくれると有難いです🙇‍♂️🙇‍♂️

(O 平面上のと動点P、 次の等式が、 2 Xs 66第9章 平面上のベクトル LE9 3 ベクトルと図形 APは 例 日 364 円のベクトル方程式2 よって、点Pは,ABを5:1 に外分する点 のーAM を中心とする半径一ABの円の周上を動く。 (2) AP-BP=AC·BE どのような図影上を動くか。 ) (AF+BP)-(AF-2BP)-0 る。本間では、 辺ABの中点を基点とすると考えやすい (1) ABの中点Mを基点とし、3点4, B, Pの 位置ベクトルをそれぞれa, -a, pとすると、 (AF+BP)-(AF-2BP)=0 は、 (2) 線分ABの中点Mを基点と し,4点A, B, C, P の位置ベク トルをそれぞれ,a, -a, c, p とすると,AP·BP-AC-BC は, 一AB (d)く YD)V (ロー) 0=(2+のa-(2ーの)-(2+D+(@-) A(G) (2+2)(2-2)=(0+)-(ロ-9) 1BPーにP 6% * 22=4-4> pp=ccより, 1=に1(一定) したがって,点Pは, 線分 AB の中点を中心とし,点 Cを通る円の周上を動く。 (別解) 座標平面上で, A(0, 0), B(a, 0), C(6, c), P(x, y)とすると、 AP=(x, y), BP=(x-a, y). AC=(6, c). BC=(b-a, c) より,AP-BP=AC·BC は, x(x-a)+y°=b(b-a)+° となる。 0-(S--)-を の…… 0=(2E+の (D-)8 2-1 Aa), B(6)を の両端とする円。 クトル方程式は、 ここで、-3a は,酸分ABを 2:1に外分する点D の位置ベクトルを表す。 よって、点Pは、線分 ABの中点Mと, AB を 2: に外分する点Dを直の両端とする円の周上を動く、 (別解1)のより, したがって、 0=(28-)-の- したがって、(xー号)+ y=b(b-a)++5より。 (xー)+デー(b-)+c となり,点C(5. c)を通る。 0=D.48+4-4 よって,点Pは, 線分 AB の中点を中心とし,点Cを通る円の周上を 動く、 26 Focus 中心CC),半後、 の円のペクトル 式6-2=r 円のベクトル方程式 C(), (半径)=r) ( ( )=0(A(a), B(6)を直径の両端とする円) ここで, 一分なは,線分ABを 5:1 に外分 する点Eの位置ベクトルを表す。 したがって, 点Pは, ABを 5:1 に外分する 点Eを中心とし, ABの中点Mを通る円の周上 を動く。 注》本間は ABの中点Mを基点として考えたが, MのかわりにAを基点として考えると、 次のようになる. (1) (6+(万ー6)-6--2(カー6))=0 より、(カ-)6-26)=0 となり, ABの中点と, AB を2:1 に外分する点を直径の両端とする円の周上を動く、 (2) か(万-)=è·(に-6)より, 万P一かち=にPー·も したがって, 5ーード-5から。 AP=(x+a, y), BP=(x-a, y) より, AP+BP=(2x, 2y) AF-2BF=(-x+3a, -y) したがって、 (AP+BP)-(AF-2BF)=2x(一x+3a)+2yx(ーy) となり,ABの中点を Mとすると、Mを中心とする半径 MC の円の周上を動く. より,パー3ax+y°=0 0= 練習 平面上の △ABCと動点Pについて, 次の等式が成り立つとき, 点Pはどのよ 364 うな図形上を動くか. (1) (AF+BF)·(A+3BF)=0 (2) 3AP·BP32AP·CP →p.649 29)

黄色のところなんでABベクトルとDPベクトルの積は0にならないといけないんですか？

10章 空間のベクトル 列題 405 2つの球面の交線と交線を含む平面の方程式 2つの球面(x-1)?+(y-2)?+(z+1)°=5, (x-3)?+(y-1)+(a+3)=2 について, (1) 2つの球面が交わってできる円Sの半径と中心Dを求めよ (2) 円Sを含む平面の方程式を求めよ。 (1) 中心間の距離と2つの球面の半径より,右の図の△ACD, ABCD に注目して三平方の定理を利用する. () (2) 求める平面上の任意の点を P(x, y, z) とすると, ABIDF または DP30 より, AB·DP=0 0 これより,x, y, また,次のように考えてもよい。 (別解1) 2つの球面が交わるとき,方程式を (xーx)+(y-y)+(z-z)°=r? (xーx)+(y-y)+(z-2a)?=r2…2 とすると,(x-xi)。+(y-y)?+(z-2i)-n? +k{(x-x)?+(yーy2)?+(z-2)?-r3}=0 は, (i) kキー1 のとき, ①と②の交線を含む球面の方程式 (i)k=-1 のとき, ①と②の交線を含む平面の方程式 となるので,k=-1 を代入する. 交 お(別解2)AB=(2, -1, -2)は円Sを含む平面の法線ベクトルだから, 平面の 方程式は, と表される。これが点Dを通ることから×, y, zの方程式を導く。 考え方 'B DA 2の方程式を導く。 0 )を P X.J,2) HB DV だ 2.x+(-1).y+(-2)·z=d(dは定数) (1) 2つの球面の中心を A(1, 2,-1), B(3, 1,-3) とおくと,中心間の距離は, AB=(3-1)+(1-2)?+(-3+1)?=3…① 2つの球面が交わってできる円S上の点をCとする と,円Sを含む平面と直線 AB との交点は円Sの中心 Dとなり,円Sの半径は CD となる。 AD=t とおくと, ①より, △ACD, ABCDについて, 三平方の定理より, CD°=AC?-AD°35-t CD°=BC?-BD=2-(3-t) 2, 3より, よって, ②より, 円Sの半径は, また,AD:DB=2:1 より, Dは線分 AB を2:1に|CD=1 (CD>0) 内分する点だから, 解答 5 A DX3-t 魚中 BD=3-t マCDE CD AACD, ABCDは ともに直角三角形 BAL+AO 2② (。1S.1 5-2=2-(3-t)。 これより, -90-3 t=2 CD°=5-2°=1より、 点A(a, as B(b,, be, b) を結に 「線分 ABをm:nに 内分する点の座標に , Os) 1·1+2·3 1·2+2·1 2+1 2+1)10 2+1 7 4 D 3' 3' より, 7 3 ー31-1Sa nast mb、 m+n DE-SSD-3