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基礎問
166 第6章 微分法と積方法
107 面積 (IV)
mを実数とする.
放物線y=x2-4.x+4 ① 直線y=mr-m+2 ②
について,次の問いに答えよ.
(1) ②はmの値にかかわらず定点を通る。 この点を求めよ.
(2) ①,②は異なる2点で交わることを示せ .
(3) ①, ② の交点のx座標をα, β(α<β) とするとき, ①,②で囲
まれた部分の面積Sを α, β で表せ.
(4) Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ.
精講
(1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず」とくれば,
「式をmについて整理して恒等式」と考えます.
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します.
(3) 105 ですでに学んでいますが、 定積分の計算には100 (2)を使います。
4) 21 (解と係数の関係) を利用します.
判別式をDとすると
()
解答
(1) ②より m(x-1)-(y-2)=0
これがmの値にかかわらず成立するとき,
x-1=0, y-2=0
よって,の値にかかわらず②が通る点は, (12)
(2) ①,②より, y を消去して
x2-4x+4=mx-m+2 :: x²-(m+4)x+m+2=0
D=(m+4)2-4(m+2)
=m²+4m+8
=(m+2)²+4>0
よって, ①と②は異なる2点で交わる.
右図の色の部分がSを表すので
<mについて整理
<D>0 を示せばよい
y
=-S² (x² -
{x²-(m+4)x+m+2}dx
α,Bは,x^²-(+4)x+m+2=0の2解だから
S=- -f(x-a)(x-B)dx=(B-c
注紙面の都合で途中の計算は省略してありますが, 100 (2) のようにき
ちんと書いてください。
(4) 解と係数の関係より,α+β=m+4, aß=m+2
∴.
S=
6=1/16((m+2)2+4) 12 より m=-2のとき 最小値- 4
3
をとる.
(*) は, よく見ると (2)のDです. これは偶然ではありません.
ax²+bx+c=0 (a>0) の2解をα, β(α <B) とすると,
-b-√D
B=
-b+√D
2a
2a
参考
(B-α)2=(a+β)²-4aß= (m+4) ²-4 (m+2) ..……(*)
=m² +4m +8
4
s={(B-a)²}³ = 1/(m²+4m+8) ²
ポイント
演習問題 107
Q=
‥. β-α=
本間は α=1のときですから, (β-α)²=(√D)²=D となるのは当然.
このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも
可能で,必ずしも, a + β, αβ から求める必要はありません .
-b+√D -b-√D VD
2a
2a
a
S²(x-a)(x-B)dx= -1 (B-a)³
・・・･･･ ② について 次
y=4-x2......①, y=ax (aは実数)
ものを求めよ.
(1) ①,②のグラフが異なる2点で交わるようなaの値の範囲
