高1数学の【放物線と直線の共有点の個数】という問題です。 Q:関数y=x²+ax+aのグラフが直線y=x+1と接するように、定数aの値を求めよ。また、その時の頂点の座標も求めよ。 解説を見たのですが、僕が緑枠🟩で囲ったところの考え方が分かりません。なんでこのようになるの... 続きを読む

(1) y=x2+ax+a とy=x+1からy を消去して 整理すると x2+ax+a=x+1 x2+(a-1)x+a-1=0. ① 2次方程式①の判別式をDとすると 〔+) ( D=(a-1)2-4(a-1)=(a-1) (a-5) 与えられた放物線と直線が接するための必要十分条件は D=0 ゆえに (a-1)(a-5)=0 S-0 よって a=1,5

(2)の問題で、青線部がなぜこの順番で引かれてるか分かりません、解説お願いします💧‬

X-6 (3) y=x3-5x2 次の放物線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 教 p.22 (1) y=x2,y=4x(2) y=x²-3x+5,y=2x-1

定積分の応用について問題です。 なぜ判別式Dを用いて、以降の計算になるのかがわからないです。 どなたか解説していただきたいです。よろしくお願いします🙇

7-3 点 (1,3)を通る傾きの直線と放物線 C: y=x2 によって囲まれる領域の面積 をSとする。 Sの最小値、 およびそのときのmの値を求めよ。 y= g(x) 7-4 3次関数 y=x-x+2のグラフをCCの点(-1, 2)における接線を1とする。

（2）をどう解けば良いのかわかりません。 教えていただきたいです

[Tr439] 放物線と直線で囲まれた図形の面積の最大値 実数t (0≦t≧号)に対し,座標平面上の点P (2t-5, 0) とQ(12) を考える。 y=xの上の点 (1) 放物線y=x2 の 0≦x≦t の部分と線分OP および線分 PQ で囲まれた部分の面積を 求めよ。 ただし, 0 は原点を表す。 APOR-ORG ·£t-(2->) - So(a) de /(-ts)ピー[] ・ピィピー + PO い 5-2 ) 5 (2)0mの範囲を動くとき, (1) で求めた面積の最大値を求めよ。 t=0重解 2-0, t y 0 103 Max 6 解答 (1) 2012/12 (2) 5 -+3+

(4)でなんでこの解き方で解こうってなるんですか？この問題を初めて見た時どんな思考回路で解きますか？

108 面積 を実数とする. 放物線y=x-4.x+4 について,次の問いに答えよ. ･･1, 直線 y=mx-m+2......② (1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ. (2) ① ②は異なる2点で交わることを示せ. (3) ①,②の交点のx座標をα, β(a<B) とするとき, ①,②で囲 まれた部分の面積Sをα, βで表せ. (4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ. 精講 -((+1)(-a)S (1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず｣ とくれば 「式をmについて整理して恒等式」 と考えます。 (2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します。 3) 106 ですでに学んでいますが,定積分の計算には101(2)を使います。 ■)21 (解と係数の関係)を利用します。 Ja +4)x+m+2}dx α, Bは, 2-(m+4)x+m+2=0 の2解だから =-f(x-a)(x-B)dx=(-a)³ 169 (V) eo 注 紙面の都合で途中の計算は省略してありますが,101 (2) のようにき ちんと書いてください。 (4) 解と係数の関係より, α+β=m+4,aβ=m+2_ 参考 S= (B-α)=(a+B)2-4aß= (m+4)2-4(m+2) =m²+4m+8 S=((Ba) 6 {(B-a)²)=(m²+4m+8) 3 6 .(*) {(m+2)2+4} 12 よりm=-2 のとき 最小値をとる。 3 (*)は,よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません. ax2+bx+c=0 (a>0) の2解をα, B(α <B) とすると, a==b-√D B=- -6+√D B-α= 2a -6+VD 2a 2a -b-D D 2a 解答 a (1)②より(-1)(y-2)=0 mについて整理 これがmの値にかかわらず成立するとき x-1=0, y-2=0 本間は α=1のときですから, (β-α)²=(√D)=Dとなるのは当然. このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも 可能で,必ずしも, α+β, aβ から求める必要はありません。 よって,mの値にかかわらず②が通る点は,(12) (2)①②より,yを消去して ポイント x2-4x+4=mx-m+2 2-(m+4)x+m+2=0 L- (x-a)(x-8)dr=-(-a)³ 判別式をDとすると, D=(m+4)2-4(m+2) =m²+4m+8 =(m+2)^2+4>0 <D>0 を示せばよい S= =∫{(mr-m+2)-(-4x+4)}d (2) よって、①と②は異なる2点で交わる. 2 右図の色の部分がSを表すので 演習問題 108 O a 1 2 2 BI (2) ①②のグラスで囲まれ 面積が となるようなαの値 y=4-x?...... ①, y=a-x (αは実数) ••••••② について 次の ものを求めよ. (1) ①,②のグラフが異なる2点で交わるようなαの値の範囲

積分の面積の範囲です （3)のシャーペンで丸をしてるところの式がどこから出てきたかわかりません。

解答編 (A,B) -123 3 別解領域を,右の図の ように分けて考えるとSI 3 ++10x =(-1/3+/1/2+6)-(1+2-12 CB-+(-3-6+20)-(+10) T50い方とする SE-A-SI-148 したがって、求める面積は 8 ①から,直線 l の方程式は y=x- 21 4 別解 [①を求めるまでは同じ ] S_2{(x+5)(x-1)}dx +S-3x+9)(x-1)}dx =S_(_x+x+6)dx+S(メー +6x (-x^-3x+10)dx 2. 2 + 10x y=x2+2x-5から y'=2x+2 放物線 C2 上の点 (s, s2+2s-5) における接線 の方程式は 3=y-(s²+2s-5)=(2s+2xx-s) すなわち y=(2s+2)x-s2-5 ...... ③ ①, ③が一致するとき 2t-4=2s+2, -t2+ 1 = -s2-5 これを解くと t=- 5 2' 21 よって、直線 l の方程式は (3) 放物線と直線lの y=x- 4 11 y ① 接点のx座標は,②の 重解であるから 2 122 -1 S__3_(x-1)}dx -2(t-3) 0- x=-- 2.1 -3 D 21 +×12-(-2)) ② O 1-22 ③ -6 4 X(6-3) =-S_ (x+2)(x-2)dx+ 50 =1/212-(-2)+6=23 294 (1)x2-4x+1=x2+2x-5を解くと x=1 このとき y=12-4・1+1=-2 よって, 求める交点の座標は (1,-2) =t-3 503 t=2のとき 5 x=1/2-3-12 図から, 求める面積は S' (x²+2x-5-(x−−21) dx x2-4x+1-x- dx =(x+1)x+(x)dx A.B 201-300 方程式は (2) y=x2-4x+1から y'=2x-4 放物線上の点(t, t2-4t+1) における接線の 848 5 x+ + y-(t2-4t+1)=(2t-4)(x-t) すなわち y=(2t-4)x-t2+1 ..① x2+2x-5=(2t-4)x-t2+1とすると x2-2(t-3)x+t2-6=0 9 9 TA 8 4 ARS 直線 ①が放物線 C2 にも接するための条件は,x の2次方程式 ②が重解をもつことである。 E 295 (1) f'(x)=3x+2ax+b x=1で極値2をとるから f(1) = 2, f'(1)=0 a+b+ 1 = 2,2a+b+ 3 = 0 これを解いて a=-4,b=5 逆に,このとき f(x)=x4x2+5x, ②の判別式をDとすると =l-(t-3))2-1(t2-6)=-6t+15 D TO D=0であるから 5 TO よって 6t+15=0 1=2

この問題は、x=<0,3=<xのときの接線は考えなくて良いのですか？

関数f(x)=|x (x-3)| とする。 曲線 y=f(x) 上の点P(1, 2)における 接線lとこの曲線で囲まれた2つの部分の面積の和Sを求めよ。 ≪@Action 放物線と直線で囲む面積は,f(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-α) を用いよ 見方を変える 例題222 単純に分割すると, 計算が大変 思考プロセス VXX の形にして 面積を足し引きすると 公式が使える 例題 188 0≦x≦3のとき, f(x)=-x+3x より f'(x)=-2x+3 f'(1) = 1 より 接線の方程式は y-2=1.(x-1) すなわち y = x +1 ここで,曲線 y=f(x)と接線は x0,3≦x において共有点をも ち、その共有点のx座標は x2-3x=x+1 x2-4x-1=0 よって x=2±√5 O 3 2-√5 2+√5 したがって, 求める面積の和Sは 2+√5 216 例題 S= {(x+1)(x3x)}dx2f(x+3x)dx ・3 x d0≦x≦3のとき f(x)=-x(x-3) =-x+3x x=0, 3≦xのとき f(x)=x(x-3) =x^2-3x 2+√5 -x-(2-√5)}{x-(2+√5)}dx +2 fx √x(x-3)dx =1/11(2+√5)-(2-√5)-2(3-0) 20√5 = -9 3 2/52+√503 J.

例題14の⑵について質問です。 画像赤線のように、どうしてkを消去したら点Mの軌跡がもとまるのでしょうか？教えてください🙇

応用 258 放物線y = x +3 と直線 y=-2x+k について,次の問に答えよ。 (1)放物線と直線が異なる2点 A, B で交わるような定数kの値の範囲を求めよ。 (2)(1) のとき,線分ABの中点Mの軌跡を求めよ。う

印を付けた式が どうやって出来たのかが 分かりません 🙇🏻‍♀️՞ ご回答よろしくお願いします。

✓ 508 放物線 y=x2+2x-3 と, 原点を通る傾きの直線で囲まれた図形の面積 が最小となるように, m の値を定めよ。 また, そのときの面積を求めよ。 原点を通る傾きの直線の方程式は y=mx 放物線とこの直線の交点のx座標は, 方程式 答 x2+2x-3=mx すなわち x2-(m-2)x-3=0 ... ① の実数解である。 ①の判別式をDとすると D=(m-2)2+12> 0 よって, ① は異なる2つの実数解をもつ。 それらをα,β(a<β) とすると, 放物線と直線で囲まれた図形の面積Sは S=${mx-(x2+2x-3)}dx=-f(x-axx-B)dx=1/2(B-α) α α m-2+√D m-2-√D ここで β-α=- =√D=√(m-22+12 2 2 13 よって 詳解 S=1/√(m-2)+12 したがって,面積Sは,m=2のとき最小となり,そのときの面積は1/2(12)=4/3

ここの途中式を教えていただきたいです

1 したがって f(x) = x² −x + 1/1 6 例題46f(a)=S'(6x2+4ax+a)dx 426 (2) = [2x²+2ax² + a²x] 0 +=2+2a+α°= (a+1)2+1=f+go+° ゆえに, f (a) は α-1で最小値1をとる。 (S) 例題47 放物線y=2x-x2 と直線 y=kx で囲まれた 部分の面積をS(k) とする。 この放物線と直線の交点の += era S (k) x座標は方程式 2xx2=kx を解いて x=0, 2-k y=kx 面積を2等分できるためには 0<2-k<2 -27 271 10 2-k x すなわち 0<k<2 ***** ① ここで -- y=2x-x2 2-k S(k)=S ^{(2x-x2)-kx)dx IT [d=-Soxx-(2-k)dx=- (2-k)3 6 放物線と x軸(y=0x) で囲まれた図形の面積はS(0) であるから,面積を2等分するときは 2S(k) =S(0) すなわち 2.(2-k)3 23 = II 6 6 (6) 2-b―3 万