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列題228 条件つきの最大 最小
y, 2は x+y+z=0, x°+x-1=yz を満たす実数とする。
1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
2 P3x°+y°+z°の最大値, 最小値と,そのときのxの値を求めよ、
例題2
計条件つき最大·最小の問題であるから
CHART 条件式
文字を減らす方針で使う
xを係数にもつ方程式を作り,実数条件(判別式 DN0) を利国す。
(1) xの範囲
2=ーx-y をx+x-1=yz に代入して, zを消去すると
x°+x-1=y(-x-y)
よって
y+xy+x°+x-1=0
yは実数であるから, D=x°-4(x°+x-1)20 よりxの範囲が出る。
(2) xの範囲が出たから, Pをxで表し,その最大· 最小を求める。
Pがx, y, 2の対称式であるから, 答案のようにy+z, yz をペアで扱うと,(1) も合
て計算がらくになる。
園(1) 条件から
よって, y, zは+xt+(x°+x-1)=0
の解である。
y, z は実数であるから, tの2次方程式① は実数解をもつ。
ゆえに, 2次方程式① の判別式をDとすると
y+z=-x,
12=x°+x-1
y, zを解とする
2次方程式は
ピ-(y+2)t+y=
D20
D=x°-4-1·(x°+x-1)=-3x°--4x+4
D20 から
3x°+4x-4<0
よって
(x+2)(3x-2)S0
-25x
(2) P=x°+y°+z=x+(y+2)?-3yz(y+z)
=x°+(-x)°-3(x?+x-1).(-x)=3x*+3x°-3x
2
ゆえに
dP
-=9x*+6x-3=3(3x+2x-1)
dx
よって
1
3
x
-1
=3(x+1)(3x-1)
dP
dx
dP
0
0
-=0 とすると
1
x=-1,
dx
極小
5
3
2の範囲におけるPの増減表は右のように
なる。
したがって, Pは
x=-1 で最大値3, x=-2 で最小値 -6 をとる。
極大
3
P
-6
9
SO D
習| 228 x, , zは条件 x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 を満たす実数とする。
(1) xのとりうる値の範囲は ハ×s コである。
A
(2) P=x°+y°+2°の最大値は 最小値は「口である。
228 実数x, yが条件 x°+xy+y=6 を満たしカ
B
xy+
ミ )し
つ