107
2 の最
基本例題 64 最大· 最小の文章題 (1) 小豊 大豆
基本 58。
BC=18, CA=6 である直角三角形 ABC の斜辺 AB上に点Dをとり, Dか
ら辺BC と CAにそれぞれ垂線 DEと DF を引く。△ADF と△DBE の面
積の合計が最小となるときの線分 DEの長さとそのときの面積を求めよ。
基本 58
CHART
体がる
SOLUTION
文章題の解法
最大·最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
DE=x とおくと, 相似な図形の性質から△ADF, ADBE はxの式で表される。
また, xのとりうる値の範囲 を求めておくことも忘れずに。
合に分
3章
解答
A
8
DE=x_ とし,△ADF と ADBE の面
積の合計をSとする。
D
HF
つ右例0<DE=FC<AC であるから
式の者
合 (辺の長さ)>0
C
*xのとりうる値の範囲。
B
E
0<x<6
AF=6-x
合相似比が m: n
面積比は m?:n°
三角形の面積は
AABCのAADF であり, △ABC: △ADF=6°:(6-x)?
AABC=→18·6=54 であるから
2
(6-x).54-2
54=(6-x)
-x(底辺)×(高さ)
2
別解長方形 DECF の面積
をTとすると,Tが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x)から
T=x-3(6-x)
=-3(x-3)?+27
AADF=
6°
あ同様に,△ABCの△DBE であり,△ABOC:ADBE=6°: x?
3
こな
よって
x?
6°
ADBE=
·54=
ゆえに,面積は
S=△ADF+ADBE
54
大の
0<x<6 から, x=3 でT
は最大値27をとる。
27
=(6-x)+x}
る よって,DE の長さが3の
とき,Sは最小値
x
1
T
=3(x°-6x+18)
=3(x-3)?+27
よって,①の範囲のxについて, Sは x=3 で最小値27 をと
る。ゆえに, DE の長さが3のとき, 面積の最小値は27 である。
0
3
6
る6-18-27=27
2
をとる。
小太9
な大
.0
2次関数の最大·最小と決定一
の
