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(2)、任意の実数xに対して, 不等式 ax-2/3x+a+2<0が成り立つような。
()-すべての実数xに対して, 2次不等式x°+(k+3)xーk>0が成り立つよう
AD.171 基本事項6 129、
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基本 例題113 絶対不等式
定数をの値の範囲を求めよ。
数aの値の範囲を求めよ。
指針> 2次式の定符号 2次式ax'+bx+cについて D=b°-4ac とする。
常に ax°+bx+c>0→a>0, D<0
常に ax°+bx+c<0→a<0, D<0
(1) x°の係数は1(正)であるから, D<0が条件。
(2) 単に「不等式」とあるから, a=0(2次不等式で
ない)の場合とaキ0の場合に分ける。
補足 ax°+bx+c>0に対して, a=0の場合も含め
ると,次のようになる。
常に ax°+bx+c20→a>0, Dsn
常に ax°+bx+c<0→a<0, Dsh
x
[a>0, D<0]
[a<0, D<0
常に ax°+bx+c>0→a=b=0, c>0;またはa>0, D<0
解答
(1) xの係数が1で正であるから,常に不等式が成り立
つための必要十分条件は, 2次方程式
x+(k+3)xーk=0 の判別式をDとすると
D=(k+3)°-4-1·(-k)=k°+10k+9=(k+9)(k+1)
であるから,D<0より (k+9)(k+1)<0
ゆえに -9<kく-1
(2) a=0 のとき,不等式は -2/3x+2<0 となり,例え|(*) グラフがx軸に接する, また
ばx=0 のとき成り立たない。
aキ0のとき, 2次方程式 ax°-2/3x+a+2=0 の判別
式をDとすると, 常に不等式が成り立つための必要十
] 分条件は a<0 かつ Dハ0
「すべての実数 x」 または 「任意の実
数x」に対して不等式が成り立つと
は,その不等式の解が,すべての実
数であるということ。
(1)の D<0は, 下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
D<0
はx軸より下側にある条件と同に
であるから, D<0ではなく D<0と
する。
D
=(-V3)°-a(a+2)=-α-2a+3=-(a+3)(a-1)
4
であるから, Dハ) より
aミ-3, 1Sa
(a+3)(a-1)20
a<0との共通範囲を求めて
よって
aミ-3
すべての実数 xについて, 2次不等式 ax°+bx+c>0が成り立つ
→2次関数 y=ax"+bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
→a>0(下に凸) かつ D=Dゲー4ac<0 (x 軸との共有点がない)
