364 第6章 場
Ai, As, As, …, Aiz を頂点とする正十二角形が
ある。この頂点のうち3点を選んで三角形を作るとき。
次の個数を求めよ。
(1) 二等辺三角形
(2) 互いに合同でない三角形
例
三角形の個数2
A12
A.
A」
A2
例 題 206
A。
A1o
A。
A。
A。
は
As
A, A。
Yot o
考え
分線について対称になる。
つまり,頂角にくる点を固定して,底角にくる点
のとり方を考えればよい。
A;~Azについて同様に考えれば,個数を求める
ことができるが,正三角形になる場合に注意する。
考え方] (1) 二等辺三角形は, 右の図のように底辺の垂直二等
A10
PA。
(2) 頂点間の間隔に着目する。
右の図のように①と②は合同
で,①と3は合同でない。
010
s 0y
正三角形は他の頭点
から見ても二等辺
角形なので,重複し
て数えてしまう。
A」
(1) A」を頂角とする二等辺三角形は,
線分 A,A,に関して対称な点の組
(A2, Az), (As, A),
(A4, Aio),(As, A。),
(A6, As)
頂点は 12個より,
このうち,正三角形となる4個の三角形は3回重複
して数えている。
よって, 60-(3-1)×4352 (個)
(2) 1つの頂点を A,としてよい。
他の2頂点を A, A,(i<j)とす
るとき,
x=i-1, y=j-i, z=13-j
として,x+y+z=12 (1<x<y<2)
を満たす整数解の個数を求めればよい. As
この整数解を求めると,
解答
A。
の5通り
5×12=60 (個)
A7
正三角形となるのは
(A1, As, A),
(A2, As, Ap),
(As, Ar, Al),
(A4, As, An)
1つの頂点を固定し
て他の2つの頂点の
とり方を考える。
辺の移動回数が小き
い順に考えていく。
=3
2=5/
A4
y=4
x回y回2回
(2, 3, 7),(2, 4,6),(2, 5, 5), 1Sx%yハ4,
よって,求める個数は,
12個
x+y+z=12
正八角形 ABCDEFGHの8つの頂点から3つを選ん
6 いに合同ではないものは何個ホッ
るとき。
