例画 43 /ぅ が無理数であることの証明
柄題「ヵは埋数とする.
"ゲ が3の倍数ならば. ヵは3の倍数である」は真
ある。これを利用して.
Y3 が無理数であることを証明せよ。 スタ基本
を
mnの加r。。」。、
証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法
"2押環数でない (有理私であぁる) と 仮十 する。 このとき. 3 =ァ (ァは有理
ご人定し<巴盾を導こ うとすると.「/すニァ の両辺を 2 乗して, 3ニーゲ」 とな
= < で先に進めなくなってしまう。 そこて. 自然数o。 5 を用いて 73 ニ信
(巡約分数) と表されると仮定して 矛盾 を導く。……7
還inn ーー
3 が無理数でないと仮定する。
のとき 3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約数| で既約人数:きる器ー
| 。約合して お
もたないう2つの自圧数のjjのを用いで3ニテ と表される。 | 結の公約色がなと
> ー [it 2 つの整数 g。 5 の}
2 Z=73 6 | 大公約数が 1 であるとき
辺を 2 乗すると 97人3 ① | <とは 互いに素 である
って, g* は3 の倍数である。 | という (数学A参
が3の倍数ならちばも 3 の倍数であるから, んを自然数と | を下線部分の命題が真
ののさろ Nean | あることの証明には
陸和or | 偶を利用する。
9だ=3/ すなわち が=3 |
って, は 3 の倍数であるから, めも 3 の倍数である。 |
とに, と6は公約数 3 をもつ。 |
は, ?とのが1 以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。 |
:がって, 3 は無理数である。 |
FORMATION 位一ーー
頭で真であるとした命題「72 が 3 の倍数ならば, ヵ は 3 の倍数である」 の 逆も責
る。また, 命題 「72 が個数 (寄数) ならば ヵ は個数 (奇救) である」 および. こ(
護 である。これらの命題が真であること, および逆も真であるという車実はよ
れるので, 覚えておこう。
