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■る.
(大)
んですか
2項間漸化式 (4) 整式型~
1=6, an+1=3an-6n+3(n=1, 2, 3, ...) で定められる数列 an | がある .
(1) an+1-an=6m とするとき, bn+1 を bn を用いて表せ.
(2) 数列{an}の一般項を求めよ.
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ai
解答
(1)与えられた漸化式から,
an+2=3an+1-6(n+1)+3
an+1=3an-6n+3
(2) まず,数列{bn}の一般項を求める. 数列{bn}の初項 by は,
①-②から,
an+2an+1=3(an+1-an) - 6
ここで, an-1-am=b, とすると,左辺の an+2an+1=bn+1 であり,③から,
bn+1=3b₂-6
b1=a2a1=(3a1-6・1+3) -a α2 は②n=1 にすればよい
=2a1-3=2・6-3=9
bn+1=36-6を変形すると,
よって,
α=3α-6より α = 3 になるから,
bn+1-3=3(bn-3)
[+b+1=3bm - 6
これより,数列{bm-3}は公比3の等比数列であり,-) 3=3･3 - 6
(0) GLED).
bn+1-3=306-3)
初項 b1-3=9-3=6
b-3=6.3”-1=2.3"
= であるから、④より,
an+1-am=2・3"+3
さらに, 左辺に②を用いて an+1 を消去すると,
(3an-6n+3) -an=2.3"+3
2an=2.3"+6n
nをn+1に取りかえた
HOSHASHI+
. .bm=2・3"+3 ･･･④
文系
数学の必勝ポイント・
BA
∴. an=3"+3n
(東洋大)
[解説講義
an+1=pan+f(n)(f(n)はnの1次式が多い)の形の漸化式は,文系の入試では,本問のよう
な誘導がつけられることが一般的で、誘導に従って考えていくと「基本形の漸化式」に帰着
されることが多い 「n を n +1に変えた漸化式 an+2=pan+1+ f(n+1) を作って,与えられた
漸化式との差 (解答の①-②)を考えて,置きかえる」という解法の特徴を理解しておこう.
an+1=pan+f(n) の形の漸化式
nan+1に変えた式を作って, その差を考える
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