問9の解き方と答えを教えてください😿

例題-4 △OAB に対して OP = sOA + tOB とおく。 実数 s, tが s≧0, t≧0, ベクトル方程式の応用 1 ① 1 中点で求まる s+t= 2 2 を満たしながら変化するとき, 点Pの存在する範囲を求めよ。 |視点 点Pが線分AB上にある条件をもとに考えることができるだろうか。 解 ②より, 2s + 2t=1 が成り立つ。 2s=m, 2t=n 10 とおくと 15 ①より m≧0,n≧0,m+n=1 すなわち OA OP =m OP= "OA + "OB OB HOMO MI +n ここで 20+MOm=0 OA OM 2 OB ON 2 AO 一章 2節 ベクトルの応用 B である点 M, N をとると, M, Nはそれぞれ辺 OA, OBの中点であり OP = mOM+nON, m≧0,n≧0,m+n=1 20 となるから、点Pの存在する範囲は,辺OA, OBの中点M, N を両端 とする線分 MN である。 p.47 Training17 問9 例題4で,s≧0, t≧0,s+t=2のとき, 点Pの存在する範囲を求めよ。

問6の証明の仕方を教えてください🙏

交点 分 9 b 5 例題 3 内積と図形の性質 鋭角三角形ABC の頂点 B, C からそれぞれの対辺に下ろした垂線の交点を Hとすれば, AH BC であることを証明せよ。 視点 垂直を, ベクトルを用いて示すには, 何がいえればよいだろうか。 証明 AB=6, AC=c, AH = h とおく。 BH ⊥ AC より BH AC = 0 e (AH-AB) AC = 0 . (-6)=0 10 よって h.c=b.c h A H B C h.c-b.c=0 1章 2 ベクトルの応用 15 15 よって CH⊥ AB より CHAB = 0 (AH-AC) AB = 0 • (h-c) b=0 h.b=c.b h.b-cb=0 ここで • AH BC= AH.(AC-AB) 25 20 =h⋅ (c-b) =h.c-h-b = b. c-cb = = 0 したがって, AH BC すなわち AHI BC である。 注意例題3の点Hを△ABCの垂心という。 問6 長方形ABCD において, AB = 1, BC = 2 で あるとき 対角線 BD を 1:4 に内分する点を Pとすれば, AP BD であることを証明せよ。 p.69 LevelUp7 B D

（1）のとき、イコール記号を切り離して3つの方程式を答えとしても正解ですか？

ペー 3空間のベクトルの応用 例題 C1.66 直線の方程式 (1) (315) C1-129 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ. (2) 2点A(2,2,-3), B(5, 2, 2) を通る直線 (1) 点A(0, 1, -2) を通り, d=1,2,3) 平行な直線 (3)点A(2,1,0) を通り, d=(0, 0, -1) に平行な直線 考え方 直線の式を求める際は, 「解答 ①p=a+td (1点A(a) を通り,方向ベクトルの直線) ②p=a+t(b-a) (2点A(a),B(b)を通る直線) を利用する.(②で b-a=d とおくと, ①と同じ式になる.) (1)A(7) とし,求める直線上の点をP(D) とすると, p=a+td (tは実数) だから,P(x,y,z) とすると, (x,y,z) = 0,1,-2)+t(1,2,3) **** x= =(t,1+2t,-2-3t) (tは実数) よって、求める方程式は, tを消去して y-1_z+2 2 (2)A(2,2,-3) を通り,方向ベクトルが AB= (3,0.5)の直線だから (x,y,z) = (2,2,-3)+t(305) =(2+3t,2,-3+5t) (tは実数) よって、求める方程式は を消去して, x-2_z+3 35,y=2平 (3)点A(2,1,0)を通り, 方向ベクトルが (0, 0, -1) の直線だから分 4-1-2-1 (x,y,z)=(2,1,0)+t(0,0, -1) (2,1,-t(tは実数) よって、求める方程式は, x=2,y=1 炭火&取沢 標準形という. AB =(5-2, 2-2, 2+3) =(3, 0, 5) より, 点Aを通り, AB に平行な直線と 考えればよい. 1 y 2人 xx zは任意の実数 第4章 Focus 空間における直線は, ベクトル方程式p=a+td (tは実数) を 用いて表す 注)(2)では,方向ベクトルの成分は0より、この直線上の点のy座標はつねに2(一定値) である.(3)では,方向ベクトルのxy成分はともに0より, この直線上の点のxy 座標はつねに x=2,y=1(一定値)であり、座標は任意の実数値をとる。 ●から成っている。 練習 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ. C1.66 (1) 点A(2,-1, 3) を通り (2,16)に平行な直線 ** (2) 2点A(1, 2, 3), B(4, 3, -1) を通る直線 - (3) 点A(7, 2, 8) を通り、x軸に平行な直線 B1 58.13 B2 C1 C2

s、1ーsなどとおいているところなんですが、これはどのように定めますか？ 例えばAP、PNは解答通り、MPとPBをそれぞれs,sー1と逆に置いてしまうと解答が合わなかったのですが考え方がわからないので教えて欲しいです🙇‍♀️

58 OM || ON= 3-53-4 ---a 31/60 b である。 点Pは直線 DE A M 2 A 3 -1-s 0 3 1-AN S P B

数B 空間ベクトル 下の写真の赤マーカーについてです。 OAベクトルのところで、(1-s-t)ではなく、uなどと置いて、『ただしu+s+t=1である』というのは間違えでしょうか？ 簡単に言うと ①(1-s-t)→uは可能か ②u+s+t=1または(1-s-t)+s+t... 続きを読む

F 19 平面の方程式 新 入試につながる 実戦力 P問題 間違えたら✓を入れて、翌日以降にもう1度解きそう。 3点 (2.0,1),B(0, 3,0), C(3,1,2)を通る平面の方程式を求めよ。 空所を埋めながらポイントをつかもう! 答えは、右ページの下 問題を 平面の方程式の問題。 どのような条件があれば平面が決まるかを考えることがポイントだ。 読み取る 一般に3つの点があると1つの平面が決まる。この問題は、与えられた3点を通る平 を決定する問題だ。 その方程式を求める方法はおもに2つあり、1つは「4点が同一平面上にある条件」を解 いる方法で、もう1つは「法線ベクトル」を用いる方法だ。 両方とも挑戦してみよう。 ◆ 「4点が同一平面上にある条件」 を用いて解く ます。 「4点が同一平面上にある条件を用いる方法」を考えていこう。 点P(x,y,z)が平面ABC 上にあるとき. OP=( OA+8OB+tOC を満たす実数 s, t が存在する。 これに各点の座標をあてはめると、次の連立方程式を得る。 [x=2-2s+t AB.n=-2n+3n-n=0…..…. ① AC n +②より, -n +4n2 =0 よって、n=4ng -+②×2より 5n+n」=0 よって, n』 -5n2 Cº ....... ② •A これらの方程式からs, t を消去し, 平面の方程式を求めよう。 ◆ 「法線ベクトル」 を用いて解く もう1つの解き方である 「法線ベクトルを用いる方法」 を考えていこう。 平面に垂直 なベクトル(法線ベクトル) が具体的に求められると, それを用いて平面の方程式も 求めることができる。 そこで,AB=(-2,3,-1), AC = (1,1,1) の両方に垂直なベクトルを n=(ni, nz, n) とすると, 発展レベル ●B •P AB AC の両方に 直なベクトルを求め う。 これが､平面ABC の法線ベクトルとなるん だ。 [[解答・解説] 空間ベクトルの応用問題 19 平面の方程式 問題が解ける! 思考プロセス 「問題を 読み取る 解答の方針を 考える よって, 一般に3つの点があると1つの平面が決まる。 この問題は、与えられた3点を通る平 を決定する問題だ。 その方程式を求める方法はおもに2つあり、 1つは ｢4点が同一平面上にある条件」を 用いる方法で、もう1つは 「法線ベクトル」 を用いる方法だ。 両方とも挑戦してみよう。 問題 解答 答えが合っているかだけでなく、 解答中のポイントができているか振り返ろう! 点P(x, y', z) が平面ABC 上にあるとき, OP=(1-8-00A+SOB+1OC を満たす実数 s.tが存在する。A 図4点が同一平面上にある条件を述べた] したがって 平面の方程式を求める2つの方法のポイント 「4点が同一平面上にある条件」 を用いる場合は平面ABC上に第4の点P(x,y,z) あるための条件を利用する。 つまり, 「OP=(1-s-t) OA+sOB +10C｣ という表し方一 「法線ベクトル」 を用いる場合は AB AC の両方に垂直なベクトル n を求めよう。 (x, y, z)=(1-s-t) (2, 0, 1)+s(0, 3, 0)+(3, 1, 2) ①② より. x=2-2s+t ...... ① y=3s+t ...... ② z=1-s+t ...... ③ 連立方程式をつくった｣ まず注意! 連立方程式を解こうとしないように B = (2-28-2t, 0, 1-s-t)+(0, 3s, 0)+(3t, t, 2t) =(2-2s+t,3s+t, 1-s+t) x-y=2-58 ...... ④ ②3 より、 y-z=-1+4s ······ 5 ①x4+⑤ ×5 より, 4x+y=5z = 3 よって求める方程式は. 4x+y-52-3=0 ......(答) 平面の方程式を求めた｣ A要 4点が同一 る条件を利 4点 A. B.C.Pが 3 A, B, C に点もある OP = (1-8-1 を満たす実 1 B この問題です 「式」 たいものは この連立方 式の数が足 ｢解く」こ 程式を解 ように注

これはなぜON:IP=1:t なのですか？ 　　　　　OP:PN=t:(1-t)ではないのですか？

- △OAB において,辺OAを1:2に内分す る点をL, 辺 OBの中点をM, 辺ABを 1:2に内分する点を N とする｡ 線分 LM と線分 ON の交点をPとする。 OA= OB = $ として, OF をaともで表せ。 2a +6 [解] OL=12/22. OM=12/26 ON = 24 +1 である。 OL-, 3 点Pは線分LM 上にあるから, LP: PM=s: (1-s) とすると, OP = (1-s) OL + sOMより OF-(1-sa+b (1) また, 点Pは線分 ON 上にあるから, ON: OP=1: t とすると, OP-ON-2a+1/16 = ゆえに = 12/1/21(1-3)=1/3/31 12/20=1/3/1 これを解いて sm/13 8 OP=a+ で、ことは平行でないから, ①, ② より P M A①N ② 'B

証明の仕方を教えてください。

□ 161 △ABCの辺BC を 2:1に内分する点をDA とする。 明せよ｡ 次の等式が成り立つことを証 このとき, AB²+2AC² = 3(AD² +2CD²) B a D-b C 2b

黄色のところなんでABベクトルとDPベクトルの積は0にならないといけないんですか？

10章 空間のベクトル 列題 405 2つの球面の交線と交線を含む平面の方程式 2つの球面(x-1)?+(y-2)?+(z+1)°=5, (x-3)?+(y-1)+(a+3)=2 について, (1) 2つの球面が交わってできる円Sの半径と中心Dを求めよ (2) 円Sを含む平面の方程式を求めよ。 (1) 中心間の距離と2つの球面の半径より,右の図の△ACD, ABCD に注目して三平方の定理を利用する. () (2) 求める平面上の任意の点を P(x, y, z) とすると, ABIDF または DP30 より, AB·DP=0 0 これより,x, y, また,次のように考えてもよい。 (別解1) 2つの球面が交わるとき,方程式を (xーx)+(y-y)+(z-z)°=r? (xーx)+(y-y)+(z-2a)?=r2…2 とすると,(x-xi)。+(y-y)?+(z-2i)-n? +k{(x-x)?+(yーy2)?+(z-2)?-r3}=0 は, (i) kキー1 のとき, ①と②の交線を含む球面の方程式 (i)k=-1 のとき, ①と②の交線を含む平面の方程式 となるので,k=-1 を代入する. 交 お(別解2)AB=(2, -1, -2)は円Sを含む平面の法線ベクトルだから, 平面の 方程式は, と表される。これが点Dを通ることから×, y, zの方程式を導く。 考え方 'B DA 2の方程式を導く。 0 )を P X.J,2) HB DV だ 2.x+(-1).y+(-2)·z=d(dは定数) (1) 2つの球面の中心を A(1, 2,-1), B(3, 1,-3) とおくと,中心間の距離は, AB=(3-1)+(1-2)?+(-3+1)?=3…① 2つの球面が交わってできる円S上の点をCとする と,円Sを含む平面と直線 AB との交点は円Sの中心 Dとなり,円Sの半径は CD となる。 AD=t とおくと, ①より, △ACD, ABCDについて, 三平方の定理より, CD°=AC?-AD°35-t CD°=BC?-BD=2-(3-t) 2, 3より, よって, ②より, 円Sの半径は, また,AD:DB=2:1 より, Dは線分 AB を2:1に|CD=1 (CD>0) 内分する点だから, 解答 5 A DX3-t 魚中 BD=3-t マCDE CD AACD, ABCDは ともに直角三角形 BAL+AO 2② (。1S.1 5-2=2-(3-t)。 これより, -90-3 t=2 CD°=5-2°=1より、 点A(a, as B(b,, be, b) を結に 「線分 ABをm:nに 内分する点の座標に , Os) 1·1+2·3 1·2+2·1 2+1 2+1)10 2+1 7 4 D 3' 3' より, 7 3 ー31-1Sa nast mb、 m+n DE-SSD-3

ベクトル 2枚目のようにAPベクトルは平面xy上だから-4k+4k=1とZ軸成分がないから-12k=0としてしまったのですが、 今回は全部Oを始点としてベクトルの成分を作っているから、A始点で考えた成分をそのまま使ってはいけないから間違えてしまったのでしょうか？？ ... 続きを読む

3 空間のベクトルの応用 701 例題 396 空間における交点の座標2) 2点A(5, 0, 9), B(1, 4, 3) と xy 平面上を動く点Pに対して, AP+PB の最小値と,そのときの点Pの座標を求めよ. 考え方 2点A, Bがxy平面に関して反対側 反対側 A。 同じ側 A にある場合,AP+PB が最小となる のは,3点A, P, Bが一直線上にあ る場合である。同じ側にある場合は, XY平面に関してBと対称な点B'を とればよい。 直線の方程式をベクトル方程式で考えて,媒介変数表示する。 2点A, Bを通る直線のベクトル方程式は O=OA+tAB である。 B P xy 平面 xy 平面 B B 2点A, Bはxy 平面に関して同じ側にある。 解答 xy 平面に関して点Bと対称な点を B'(1, 4, -3)とおくと, PB=PB' より, AP+PB が最小となるのは, 3点A, P, B'が一直線上にあるときである。 トルAB'=(-4, 4, -12)より, OP-OA+ IAB) =(5, 0, 9)+t(-4, 4, -12) A, Bのz座標がと 2。 もに正なので,xy 19 平面に関して同じ側 にあるとわかる。 A 直線 AB'とxy 平面 の交点が求める点日 である。 5 x y eさ B' =(5-4、4t, 9-12t) したがって,点Pの座標は, お (5-4t, 4t, 9-12t) …D 点Pはxy平面上の点より、、 そ座標は0だから 9-12t=0 ってo12tiよAじゃなせてい だから」高線ペクトいゃな。 つうにペクトい 0 3 t= 4 すをDに代入す P(2, 3, 0) よって, P(2, 3, 0)のとき, AP+PB は最小となり, AP+PB=AB' このとき。 =4/11 どにいくがわら la2Y

問4〜6お願いします 全てじゃなくても、左から優先的にお願いします

2章 ベクトル 一直線上にある3点 平面上にある3点に対して, 次のことが成り立つ。 3点が一直線上にあるための条件 2点A, Bが異なるとき 3点A, B, Cが一直線上にある → AC = kAB となる実数kがある B これを用いて,次のような図形に関する証明について考えてみよう。 応用 例題 1平行四辺形 ABCD の辺 BCを3:1に内分 一直線上にある3点 する点をE,辺 CD を1:4に外分する点 をFとすると,3点A, E, Fは一直線上 B 1. E にあることを証明せよ。 F 点Aを基準として, AB = b, AD = d とすると, AC = 5+d となる。 証明 点Eは辺 BC を3:1に内分するから :s AB+3AC 万+3(万+) 45+3d AE 三 3+1 点Fは辺 CD を1:4に外分するから -4AC+ AD AF -4(万+)+ā 45+3d 三 1-4 -3 3 AF = AE 5ooa よって ゆえに,3点A, E, F は一直線上にある。 を証明せよ。 p.86 問題10