赤線部のとこが特にわかりません。３番の解説を詳しくお願いします🙇

数 308 重要例題 20 | 漸化式と極限 (4) **** 漸化式 α = 2,2an+1an=an2+2 (n=1, 2, 3, ......) で定められる数列 (onl える。 次の(1)~(3) を示せ。 (1) すべての自然数nについて a√2 である。 (2) an+1≦an (n=1, 2, 3, ...) (3) liman=√2 n→∞ 指針 (1) 「すべての自然数nについて……」 の証明であるから,数学的帰納法による。 9 (3) 漸化式から一般項を求めるのが容易でないから, liman=√2 を直接示すのは難しい 81U (1) (2)の不等式を利用して, liman-√2 | = 0 を示す。 なお, 漸化式 α7+1=flo ら,一般項を求めずに, 極限値を求める一般的な手順は,次のようになる。 ① 極限値を lima = α とし (このとき liman+1=α), liman+1= limf(an) から n→∞ 求める。 このαが極限値の予想となる。 81U 81U ② |an+1-α|<kan-α| を満たすん (0<<1) を見つける。 2 804U ③ ② から, 0<lan-a|<k|an-1-a|<klan-2-α|<...... <ka-alとなり 3 limk"-1=0 であるから, はさみうちの原理により n→∞ したがって, 極限値は liman = α となる。 lim|an-a|=0 81U JAA ①のαが実際の極限値となる。 N18

(4)の下から4行目のところでなんでmを用いているのですか？2mではダメですか？

66 第1章 数列の極限 **** 例題 24 無限級数の収束・発散 (2) 2,3,4 次の無限級数の収束発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ、た だし、(2)は無限等比級数である。 Szm-1-2- 3344 (4) 一般項をα 初項から第n項までの部分和をS, とする. を自然数とすると, n=2m-1のとき 2 無限級数 67 mm (1) 1+ 3+5+7+ (2) (3-1)+(4-2/3) + (6,/3-10 +•••••• (3)(3) =2 + /m したがって, /m 第1章 3.3 4.4 n+1 n+2 また, n=2m のとき, limS2m-1=2... ① n+1 (4) 2 22 33 " =(3-1)+(√3-1)'+(3-1)'+・・・・ 考え方 (1) 一般項を とするとき, lima0 ならば、無限級数 Σa, は発散する. (2)公の無限等比級数が収束する条件は、(初項)=0 または-1<r<1である。 (3-1)+(4-2/3) + (6/3-10)+・・・ よって、公比は3-1であり、-1<√3-1 <1 であるから収束する。 (3)無数Σa.. b が収束するとき, (ka.+lb.) =kZan+lZb. である(ただし,k, lは定数). (4) lim Sp≠limS (n=2m-1 のときと n=2mのときで極限値が異なる) より。 limS2m=1 ...... ② S2m=S21+a2m=2- m+2 m+1 lim よって、 ①,②より, limS2-1≠lim となり m+2 m+1 n=2m-1とn=2m のときで極限値が異なるから,こ の無限級数は発散する. 2 1+ = lim 2 m 1 1+ m Focus ・α 0 のとき 初項a,公比rの無限等比級数 定できないので a 1-r 和 (Irl<1) ・α = 0 のとき .......+ 発散 (|r|≥1) の値にかかわらず 和は 0 STJER ならば lim S は発散する。 234 解答 (1) 1+ 3'5 5+7 n 分母 奇数の列 この無限級数の第n項 4. は, an 2n-1 1 分子 自然数の列 したがって, lima.=lim n =lim 1 2 --2- (1, 2, 3, 4, .....) *-02- n 分母,分子をnで割る よって、この無限級数は発散する. 4-2/3 (2) 公比を とすると,r= 2=√3-1<1 より lar より 1-∞ m a2 r|<1 であるから,この無限等比級数は収束する. その和は、 r= ai |r| <1 より, 和は, (1, 3, 5, 7, ......) 無限級数Σan, Σb" が収束するとき, n=1 Σ(kan+lb)=kΣan+lZon n=l lim S2 = limS2n=S⇒ limS=S に収束 818 lim S2 キlimS2n⇒ lim S は発散 818 > 無限級数やその部分和を考えるときは, n=1 818 √3-1 √3-1(3-1)(2+√3) =1+√3 勝手に括弧をつけてはいけない,(p.68 Story 参照) 1-(3-1) 2-√3 4-3 &mil (3) と は、 は、 より、ともに収束するから、 (2252) も収束する。 をそれぞれ調べる. +0+0+0= に足 [オイラー 1-1+1-1+ 1 また,それぞれの和は, I Σa. Zb. * 練習 3 128 24 |収束 2 3 ** -=3. =1 1 1 ⇒(an-bn) (1) 2 3 4 5 1_2_3_4 2 of 3 |収束 (3) 3"-4 =3-1=2 2" (4) 2- 3 + 23 32 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. ただし, (2)は無限等比級数である. (2) √5+(5-√5)+(6√5-10)+..... 4 4 n+1 + n+2 32 32 + n (n+1)2 •p.81 16 17

解説をみても理解できないので、わかりやすく教えて欲しいです。

)(x+y-xy) の展開式におけるxy の項の係 数を求めよ。 (10点) {(x + y)- xy]?

大問9と大問10大問12の解き方はそれぞれわかるんですけど、質問と問題を見た時にどの問題をどの解き方で解けばいいのかわかりません！ 今日テストなので急ぎで教えて欲しいです！お願いします！

us=4cm4+1 ST 340 U412 9 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 (1) a1=0, an+1=a,+5 (2) a1=2, an+1=-3an an= of (n-1) I da 5n-5 n An= 2.6-3 an2(-3)^ 12 次の条件によって定められる数列{a}の一般項を求め (1) a1=2,n+1=3a-2 漸化式を変形すると、C=30-2 -2c =-2 c=1 P=3 ba b1=1.30+ 10 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) a1=1, an+1=an+4" 条件より anti-an=47 数列それらの階差数列の一般項がヂであ am 3 (2) a1=1, an+1=g+2 このan=a,+45 初頭 n-t E= 414"-12 3+4411 49 まって 3 成り立つ。したがって、一舟 4-1 = 3 初項はa.=1なので h (2) a1=1, a,+1-a= -2n 2 数列{a}の階差数列の一般項が-2nであ N n-r - C= ½ C 漸化式を変形すると、 113 30-3 2 20 2C C P =

解き方教えてください

[10] 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 (1) a1=3, an+1=an+2 (2) a1=5, +1=-3an

次の条件によって定められる数列anの一般項を求めよ。 a1=1, an+1=an+2^2 とあるのですが、項数がなぜn-1になるのか教えてください🙇‍♀️

例1) aplantlantan n22のとき ankait gut n- 22k k=1 初2 2

この130の問題の特に(2)とかはそうなのですが、nを用いて一般化する問題で、こういう図形の問題を考える時めちゃくちゃ考えずらくないですか？nを用いられてるので図形を書いて可視化するみたいなこともやりずらそうですし、そういう場合どういう考え方で問題に取り組めばいいですか？

582 基本 例題 130 図形と漸化式 (1) ･･･領域の個数 8500000 平面上に、どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、 平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。 (1) どの2本の直線も平行でないとき。 (2)n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。 指針▷ (1) n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。 解答 n [類 滋賀大] n=3 1ℓ2 a2=4(図のD1~D4) であるが,ここで直線 l を引くと, ls は l l と2点で交わり,この2つの交点で l3 は3個の線分また は半直線に分けられ, 領域は3個(図のDs, De, D7) 増加する。 よって a=a2+3 DS D₁ D3 D6 D₁ D2 D |43=7 同様に番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。 n本の直線によって α 個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引くと領 域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。 (2)(n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行になる から (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。 (1) 本の直線で平面が αn 個の領域に分けられているとする。 (n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のη本の直線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ, 領域は (n+1) 個 だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1 よって an+1-an=n+1 また a=2)s 数列{az} の階差数列の一般項はn+1であるから, n≧2の 人 (n+1) 番目の直線はn本 の直線のどれとも平行でな いから,交点はn個。 基本例 ZXPY (=60 PX, PY お。 同様にして (1)円O㎜の (2)円Oの 指針 (1)円O このとき (2)等比数 CHART 線 解答 右の図のC OnOn+ OnH= LOO+1H=30 On On+1 よってrn+rn ゆえに n+1=- よって、数列{r 1 rn= n-1 n2+n+2 とき an=2+2(k+1)= k=1 2 n-1 k=1 (+1)=+ これはn=1のときも成り立つ。 = 11 (n-1)n+n-1 (S+ S+2 D ゆえに、求める領域の個数は n²+n+2 2 (2)平行な直線のうちの1本をℓとすると, l を除く (n-1) 本は(1)の条件を満たすから,この(n-1) 本の直線で分けら れる領域の個数は (1) から an-1 S+S2+...... + 更に、直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以外の 直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が増える。 よって, 求める領域の個数は (1)の結果を利用。 1 は (1) annの an-i+(n-1)=(n-1)+(n-1)+2 2 +(n-1)=- n²+n 2 代わりに n-1とおく。 直線 y=ax 軸に垂線 A 更に、点 Az ③ 130 では交わらない n個の円がある。 これらの円によって,平面は何個の部分に分け 平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり,また, 3つ以上の円は同一の点 練習 られるか。 けて、線分 nとする。 (1) In n (

赤線のとこでなぜ11を初項としてそのまま等比数列を行ってはいけないのかがわかりません、12を初項にするよう導いた理由を教えてください🙇‍♂️

3 漸化式と数学的帰納法 例題 286 漸化式 anti = pantf(n) (カ≠1) ** [Check] ai=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an} の一般項an を求 めよ. 507 8 考え方 1 [解1 漸化式 αn+1=3an+2n+3 において, n を1つ先に進めてα+2 と α+1 に関 する関係式を作り、引いて, {an+1-αn) に関する漸化式を導く. 2 αに加える(または引く)nの1次式pn+g を決定することにより, {an+pn+g}が等比数列になるようにする. an+2=3an+1+2(n+1)+3 an+1=3an+2n+3 ..... ････①より、 ② ② ①より, an+2-an+1=3(an+1-an) +2 より bn=an+1-an とおくと, bn+1=36+2, b=a-a=2a+2+3=11 bn+1+1=3(6n+1) b1+1=12 したがって、数列{bn+1} は初項12, 公比3の等比数列 だから, bn+1=12.3-1=4・3" bn=4.3"-1 n-1 an=a+b=3+Σ(4.3-1) n-1 n≧2のとき, k=1 k=1 =3+ 12(3-1-1)(n-1) 3-1-(n-1) =6.31-n-2=2・3"-n-2 数 ②は①のnn+1 列 を代入したもの 差を作り, nを消去 する。 ①より, a2=3a1+2+3=14 α=3α+2 より α=-1 4・3=4・3・3-1 =12.3-1 ,01 1 より、 *+。 初項12,公比3 6・3-1=2・3・37-1 =2.3" n=1のとき, α=2・3'-1-2=3より成り立つ. n=1のときを確認 よって an=2.3"-n-2 2 p, gを定数とし, an+1+p(n+1)+g=3(an+pn+g) とおくと, an+1=3an+2pn+2g-p an+1+pn+p+q もとの漸化式と比較して, 2p = 2, 2gp=3より, か=1,g=2=3an+3pn+3q よ り,an+1=3an+2pn したがって, an+1+(n+1)+2=3(an+n+2), a1+1+2=6 ww M +2q-p Focus より,数列{an+n+2}は初項6,公比3の等比数列+ よって, an+n+2=6・3" '=23”より an=2.3"-n-2 a=3 階差数列を利用して考える 例題285(6505)のように例題286でも特性方程式を使うと=3+2+3より

数2Bの二項定理の問題なんですけど、Cとrを使うのは分かるんですが、途中式がなぜ解答のようにになるのか分からなくて...この問題のやり方を教えて欲しいですᐡᴗ ̫ ᴗᐡ💖

B 211 次の式の展開式における[]内の項の係数を求めよ。 *(1)(x2+3)' [x°] (2) (2x-y2) [x*y°] 2 (3) (x-1) 1º [x2] 110 *(4) (4x³-3x²)° 1 5 [定数項] 2

3つの組があるのになんでたしてるんですか？全部違う場合じゃないんですか？

例題 3 (x2+2x-1)の展開式におけるxの頃の係数を求めよ。 指針 一般項の式 n! p!q!r! abc において, a=x2, 6=2x,c=-1, n=6 とおく。 x の指 □ 28 数が4,かつ p+gtr=6 を満たす負でない整数,g,rの組を求める。 解答 展開式の一般項は 6! p!g!!(x2) (2x)(-1)=_6! ・29(-1)x2p+g (C) ただし p+g+r=6, p≥0, q≥0, r≥0 p!q!r! xの項は2p+g=4 のときで,≧0,g≧0 であるから p = 0, 1, 2 よって, 2p+g=4 と p+g+r=6 を満たす負でない整数p, g, rの組は (p, q, r)=(0, 4, 2), (1, 2, 3), (2, 0, 4) したがって, 求める係数は 29 6! 0!4!2! -·24(-1)²+ 6! 1!2!3! 22(-1)3+ 6! 2!0!4! ・2°(-1)*=15 答 ✓ 20 次の式の展開式における,「内に指定されたの係数を求め上 25