書いてます

DOO 式を求めよ。 基本 174 上の点(a,f(a)) の値を求めれば 2016 514 (25-2)=45 重要 例題 176 2 曲線が接する条件 2つの放物線y=x2 とy=-x の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 3/12x 102 67 714 -2=16612 + ana 00000 α)2 +2 がある1点で接するとき, 定数 α 275 12 (3) ar-1 r- a(r-1) F-T [類 慶応大 ] 基本174C 重要 177 7 3- 2曲線 y=f(x), y=g(x) がx=pの点で接する条件 f(p)=g(p) かつf'(b)=g' (カ) 「曲線が接する」とは,1点を共有し、かつ共有点における接線 が一致すること(この共有点を2曲線の接点という)。 y=f(x)/ y=g(x) e-a 410 (ん) ん 接点のx座標をとおいて 接点を共有する ⇔f(p)=g(p) 接線の傾きが一致する⇔ f'(p)=g'(p) を満たすαの値を求めればよい。 解答 P 「(x)=g(x)の判別式DとしてD=Oしたらa=I2でてきたけどそれはダメ? f(x)=x2, g(x)=(x-α)2 +2 とすると f'(x)=2x, g'(x)=-2x+2a 2曲線が1点で接するとき, その接点のx座標を とすると ←g(x)=(x-α)+2 =-x2+2ax-α+2 f(p)=g(p) 5=4 =0.5) ①と② 27 {(x)=2 Jux)== 点の =a²-a f'(a)=2a-1 1,91) を通り、傾き 直線の方程式は -y=m(x-x) f(p)=g(カ)かつ f'(p)=g'(p) が成り立つ。 ついての2次方程 m-2)x+n+ よって p2=-(p-a)2+2 1 得られる。 2p=-2p+2a ...... ② は2本ある。 ②から a=2p これを①に代入して =-(p-2p)2+2 ゆえに p2=1 これを解いて p=±1 ③ から αの値はのとき =-1 のとき α=-2, p=1 のとき a=2 方程式は よって、 y y ly=f(x) a=-2 y=f(x) とは限らない 7-10 x 01 x GS- y=g(x) y=g(x) ある とり PRACTICE 176 2次関数 f(x)= がある1点で ･･････接点のy座標が一致 f'(p)=g' (p) 6章 s = gcx / ･･････接線の傾きが一致 を意味する。 20 (2ta) p²=-p²+25 2=1 inf 接点の座標は α=-2 のとき (-1, 1) α=2 のとき (11) 接線の方程式は α=-2 のとき y=-2x-1 α=2のとき y=2x-1 (x)=x2+ax+3 がある。 放物線y=f(x) y=g(x) 微分係数と導関数 の点の座標と正の定数αの値を求めよ。 [類 立命館大 ]

点A、点Bは座標の位置が違うじゃないですか、 なぜ=で繋ぐのでしょうか？

d 276 重要 例題 177 共通接線 00000 2曲線 C:y=x2, Czy=-x+2x-1 の両方に接する直線の方程式を求 めよ。 CHART & SOLUTION 2曲線 Cy=f(x), C2:y=g(x) の両方に接する直線 方針 C. 上の点 (α, f (a)) における接線の方程式を求め、こ の直線がC2に接すると考える。 -- 接するD=0 …… 0 基本 174 176 接する \C₁y=f(x) 方針②上の点 (a, f (a)) における接線とC2 上の点(b,g(b)) における接線の方程式をそれぞれ求め, これらが一致す 接する 接する /C2:yg(x) 接する ると考える。 →y=mx+nとy=m'x+n' が一致 ⇒m=m' かつn=n' 「共通接線 方針③ 求める直線の方程式を y=mx+n とおいて, この直線がC, C2に接すると考え る。→ 2曲線と接する⇔ Di=0 かつ D2=0....... なお、この直線を2曲線の共通接線という。 解答 方針① y=x2 から 0 y=-x+2x-1 から ② 方針①と5行目までは同じ) y'=-2x+2 C上の点(b,62+26-1) における接線の方程式は すなわち y-(-b²+2b-1)=(-2b+2)(x-b) y=(-26+2)x +62-1 ② 直線 ①,②が一致するための条件は 2a= ③から 付 -26+2 ······ ③ かつ a=b2-1 ・・・・・・ ④ a=-6+1 ④に代入して よって -(-6+1)2=62-1 b(b-1)=0 b=0 のとき y=2x-1, ② から, 求める直線の方程式は b=1のとき y=0 b=0,1 の方程式を y=mx+n とおく。 y=x2 と連立して 方針③ 求める直線でx軸に垂直であるものはないから、そ x2=mx+n すなわち x2-mx-n=0 この2次方程式の判別式を D, とすると D=(-m)2-4(-n)=m²+4n m²+4n=0 ...... ① 0 Di=0 から 同様に, y=-x+2x-1 と連立して すなわち -x2+2x-1=mx+n x2+(m-2)x+n+1=0 この2次方程式の判別式をDz とすると D2= (m-2)2-4(n+1) (m-2)2-4n-40 ...... ② m²+(m-2)2-4=0 y=f(x) 上の点 (a, f (a)) における接線 の方程式は y-f(a)=f(a)(x-a) 係数を比較。 αを消去。 -62+26-1-62-1 -262-26-0 2 6 & ¥ G Q & 277 inf 方針3 は, 与えられ た曲線が両方とも2次関数 のグラフである場合に考え られる解法。 放物線と直線が接する ⇒ 重解をもつ 判別式 D=0 y'=2x よって, C上の点A(a, α2) におけ A 6 る接線の方程式は y-a²=2a(x-a) f(x) 上の点 0 D2=0 から 20 すなわち y=2ax-a². ・① 直線 ① が C2 に接するための条件は, yを消去した2次方程式 (a, f (a)) における接線 の方程式は ①+②から よって 2m(m-2)=0 nを消去。 C2 y-f(a)=f'(a)(x-a) m=0,2 ①から m=0 のとき <2m²-4m=0 n = 0, -x2+2x-1=2ax-2 m=2のとき n=-1 すなわち x2+2(a-1)x-q²+1 = 0 よって、 求める直線の方程式は y=0, y=2x-1 微分係数と導関数 が重解をもつことである。 ゆえに、この2次方程式の判別式をDとすると INFORMATION " D 2=(a-1)-(-4°+1)=24²-2a D=0 から 2a2-2a=0 すなわち 2a(a-1)=0 これを解いて a=0, 1 ① から, 求める直線の方程式は a=0 のとき y=0, 共通接線を求める方法は解答のようにいろいろな方針が考えられるが,与えられた2 つの関数が 放物線と直線が接する ⇒ 重解をもつ 2次関数と2次関数 方針1 2 3 2次関数と3次以上の関数 → 方針1, 2 判別式 D=0 2つとも3次以上の関数 方針 2 となり、方針②が応用範囲が広いことがわかる。 a=1のとき y=2x-1 inf グラフをかくと、直線 y=0 (x軸)が共通接線となるこ とはすぐにわかる。 RACTICE 177 2つの放物線 C:y=x'+1,Cz: y=-2x+4x-3の共通接線の方程式を求めよ。 ta C

以下のように考えたのですが，それがダメな理由を教えてください。

323 を求めよ。 とき、定数 α. 198 203、 e=a を代入す 。 の求め方 重要 例 例題 201(x-α) で割ったときの余り(微分利用) xについての多項式f(x) を (x-α)2で割ったときの余りを, a, f(a), f' (a) を 用いて表せ。 指針 多項式の割り算の問題では,次の等式を利用する。 A = B × Q+ R 割られる式割式余り [早稲田大 ] /p.321 参考事項, 重要 57 2次式(x-α)で割ったときの余りは1次式または定数であるから f(x)=(x-a)2Q(x)+px+g [Q(x)は商,pg は定数] が成り立つ。この両辺をxで微分して,商Q(x) が関係する部分の式が0となるよ うな値を代入すると,余りが求められる。 f(x) を (x-α)2で割ったときの商をQ(x) とし, 余りを f(x)=(x-a)(x)+px+q ① 両辺を xで微分すると 解答 x+g とすると,次の等式が成り立つ。 f(x)={(x-a)2Q(x)+(xa)2Q(x)+p =2(x-a)Q(x)+(x-a)'Q'(x)+p ①②の両辺にx=a を代入すると,それぞれ f(a)=pa+g ③, f'(a)=p... p=f'(a) 1)に従って求 を求めて る。 例題 200 ( 1 ) ■方が早い。 ④から ならS よって,③ から ■+h)-f(-2) したがって, 求める余りは -f(-2) -(-2) h ...... ②② ④ q=f(a)-pa=f(a)-af'(a) xf' (a)+f(a)-af' (a) (1+01) 余りの次数は,割る式 の次数より低い。 {f(x)g(x)}' =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) { (ax+b)"} =n(ax+b)"' (ax+b)' (p.321 参照。) (x)の定 $1 (x-α) で割り切れるための条件 f(x)が (x-α) で割り切れることは,上で求めた余り xf (a)+f(a)-af' (a) が恒等的に 0 になる、ということである。 (am) 1000= (a+01) xf (a)+f(a)-af' (a) =0がxについての恒等式となるための条件は f'(a) = 0 かつ f(a f(a)=f'(a)=0 これより,f(a)=f(a) = 0 が得られる。 よって、 次のことが成り立つ。 多項式f(x) (x-α)' で割り切れるための必要十分条件は 9355 大阪工大) 6 章 34 3 微分係数と導関数 このとき, 方程式f(x)=0は(x-a)2Q(x)=0の形になる。 したがって、この条件は、方程式(x) = 0 がx=αを重解にもつ条件であるともいえる。 xについての多項式f(x)について,f(3) =2, f'(3) =1であるとき,f(x) を SOS 201 (x-3)で割ったときの余りを求めよ。((財) p.326 EX128(2)、 す。 -1)=0で 神奈川大] EX128 (1)

(2)の矢印のとこの変形が分かりません教えてください🙇‍♀️

Check 例題 200 接線に垂直な直線 (法線) 6"" 1 微分係数と導関数 361 *** 点Pでない方を点Qとする.ただし, a≠0 とする. 曲線 y=x2 上の点P(a, d2) における法線と, この曲線の交点のうち、 (1) 法線の方程式を求めよ. (2)点Qの座標を求めよ. 考え方 接点で接線と垂直に交わる直線を法線と呼ぶ. (詳しくは数学Ⅲで学習) 点P(a, f (a)) における法線の傾きをmとすると,コール 接線の傾きがf'(a)Q のとき, 法線 接線 m.f'(a)=-1 つまり, 1 f' (a) となる. 解答 (1) f(x)=x2 とおくと f'(x) = 2x より、点Pにおける接線の傾きは, したがって, 点Pにおける法線の傾きをmとすると, f'(a)=2a m・2a=-1 より 1 2a m=- (a+0) よって, 点Pにおける法線の方程式は, まず, 接線の傾きを 考える. ( 接線の傾き) ×(法線の傾き) =-1 y-a=- 1 x 2a (x-a)より、 1 y=- -x+a²+1 2a 0=a 1 (2) 曲線 y=x2 と直線 y=- 2a -x+a2+- 1/2の交点は, 連立方程式を解いて 2つの① 2a (ローズ) (x-a)(x+ 1 x+a+ 2a 1 したがって, x=a, -a- 2a あるから, x=aも ようにな x=-a- 2a 1/2 のとき,y=(-a-20)=+ 1 解になっている. +1 4a² 2 点Qのx座標は 式 よって, 点Qの座標は, 2a' a² + 4a² + 1) 1 1 a- 2 2a 交点のx座標を求め 2式からyを消去して, x2=- -x+a²+⋅ より。 2 左辺に移項して因数 分解 s-DS点Pも交点の1つで

微分係数と導関数、接線の方程式に関連する問題です。点Pにおける接線の傾きは2tなのに、なぜ法線の傾きは－1/2tになるのでしょうか。

2t0 とするとき, 曲線 C: y=x上の点P(t, f)におけるCの法線 (P を通り,P における Cの接線と直交する直線) は,点(-2, そのとき,tの値をすべて求めよ。 4) を通ると いう。 (小樽商科大)★★ とおい

☆高校数学IIです☆ (2)の解き方がわかりません！！ 『点Aにおける接線の傾きがf’(a)であるから』っていうところが特にわかりません。あと、f’(a)が傾きになる理由もわかりません。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

題 185 導関数と微分係数 関数f(x)=x-5x2+6xについて,次の問いに答えよ。 (1)f'(1), f'(0), f' (-2) の値を求めよ。(笑 微分係数と導関数 363 **** (2)関数y=f(x) のグラフ上の点Aにおける接線の傾きが3のとき 点Aのx座標を求めよ. 考え方 関数 f(x) において、x=a のときの微分係数f'(α) は, 導関数 導関数f'(x) f'(x) に x=a を代入するだけであることに着目する。 (1) まず導関数を求めて、xの値を代入する。 (2)接線の傾き 微分係数である。 f(x)=x-5x2+6x より f'(x) =3x²-10x+6 ・① (1) ①に x=1, 0, -2 を代入すると, f′(1)=3・1-10・1+6=-1 S'(0)=3.0°-10・0+6=6 Column f'(-2)=3・(-2)-10(-2)+6=38 (2)点Aのx座標を a とすると, 点Aにおける接線 x=a を代入 微分係数(a) (x)=x x座標だけ考えればよい. 栗良出 Focus の傾きは f'(a) であるから, ①より, f'(a)=3a²-10a +6 f'(x) に x=a を代入 これが3に等しいから E--d 3a2²-10a+6=3 ( 接線の傾き)=(微分係数) =3 342-10a+3=0 aの2次方程式 (3a-1)(a-3)=0 a= 3' 1 よって、点のx座標は, 3 3' 振袖( ly=f(x) のグラフは下の 第6章 図のようになる。(グラフ (IS氏)左のかき方は p.378 参照) yy=f(x) N 13 関数 f(x) について x=α における 微分係数 導関数f'(x) の x=a のときの値 点(a, f(a)) での接線の傾き

2番で、(例題です)、0にならないんですか？ Xは微分すると、1になりますし、1は、微分すると0になるので、、 ？

319 解答 基本の BRUNET 198 導関数の計算 (1) ･･･定義(x)'1 次の関数を微分せよ。 ただし, (1), (2) は導関数の定義に従って微分せよ。 y=x2+4.x (3)y=4x-x-3x+5 (2)y= Xx (4) y=-3x+2x3-5x2+7 (1),(2) 導関数の定義 f'(x)=lim h→0 f(x+h)-f(x) h /p.314 基本事項 3~5 を利用して計算。 (3), (4) 次の公式や性質を使って, 導関数を求める。 (n は正の整数, k, lは定数) (1)y=lim h→0 =lim h→0 (")=nx-1 特に (定数)' = 0 {kf(x)+1g(x)}'=kf'(x)+1g'(x) {(x+h)+4(x+h)}(x2+4x) h (x+h)2-x2+4(x+h) -4x 2hx+h+4h h =lim h-0 XUX h =lim (2x+h+4) h→0 f(x)=x2+4x とすると f(x+h) =(x+h)2+4(x+h) <項をうまく組み合わせて, 分子を計算する。 1 (2) = x+h XC =2x+4 TS+ 1 x-(x+h) -h (x+h)x = (x+h)x であるから -h 1 -1 =lim 1 h→0 h→0 (x+h)x x² 2 y'=lim(x+h)xh (3)y'=(4x-x2-3x+5)'=4(x3)-(x2)、-3(x)+(5)、 =4・3x²-2x-3・1=12x²-2x-3 (4) y'= (-3x+2x3-5x2+7)、 =-3(x)'+2(x3)'-5(x2)'+(7) =-3・4x3+2・3x2-5・2x=-12x+6x2-10x (+ 【導関数の定義式の分子 f(x+h)-f(x) を先に計算している。 <{kf(x)+1g(x)} =kf'(x)+1g'(x) ((xn)=nxn-1 (定数)' = 0 6 章 34 微分係数と導関数

解き方を教えてください🙏 至急お願いします🙇‍♀️

●導関数 (x) 第1節 微分係数と導関数 97 390 次の条件をすべて満たす 2次関数f(x) を求めよ。 (1 f'(0)=2,f'(1)=4, f(2)=6 (2) f'(2)=-5, f'(-1)=7, f(1)=3 教 p.190 例題 3 391 次の関数を [ ]内に示された変数で微分せよ。 ただし, 右辺において変数以 外の文字は定数である。 191 58

(2)のf(3)＝5の5はどこから出てきたのでしょうか。。

138 微分係数と導関数,接線 Revie 放物線y=-x2+4x+2 について,次の接 線の方程式を求めよ。 110 (1) 放物線上の点 (15) における接線 (2) 傾きが-2である接線 [解] f(x)=x²+4x+2 とおくと f'(x) = -2x+4 (1) f'(1) = 2 であるから, 接線の方程式は y-5=2(x-1) よって y=2x+3 (2) 接点のx座標をt とおくと, 傾きが-2で あるから f'(t)=-2 -2t+4 = -2 (これより t=3 f (3) = 5 より, 接点の座標は (35) よって,接線の方程式は y-5=-2(x-3) すなわち y=-2x+11 I I I 1 I 1

指針の部分の「2次式〜〜で割ったときの余りは一次式または定数であるから」とありますが、なぜそうだと分かるんですか？3次式とかの可能性はないんですか？

重要 例題 194 (x-α)2で割ったときの余り (微分利用) xについての整式f(x) を (x-a) で割ったときの余りを,a, f(a),f'(a) を用 いて表せ。 [早稲田大〕 針 整式の割り算の問題では,次の等式を利用する。 A = B XQ+ R 割られる式 割る式商余り p.303 参考事項 重要 55 本 aes. ( 1232次式(x-α)で割ったときの余りは1次式または定数であるから (f(x)=(x-a)"Q(x)+px+q [Q(x)は商, b, qは定数] 平) が成り立つ。この両辺をxで微分して、商Q(x) が関係する部分の式が=0 となるよう な値を代入すると, 余りが求められる。 305 6章 34 微分係数と導関数