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重要 例題 113 漸化式と極限 (5)
...
・はさみうちの原理
数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, …………) を満たす
1
(1) 0<a<3を証明せよ。
(2) 3-an+1<·
3
(3-4) を証明せよ。
(3) 数列 {a} の極限値を求めよ。
C
i
p.174 基本事項 3.
指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法 の利用。
(2)(1) の結果,すなわち > 0, 3-α>0であることを利用。
(3) 漸化式を変形して,一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で
式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-an}の極限を求める。...
はさみうちの原理 すべてのnについて pan≦gn のとき
limplimgn=α ならば
liman=α
710
118
80
なお,次ページの補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
解答
(1) 0<an<3
① とする。
[1] n=1のとき,与えられた条件から ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<a<3
n=k+1のときを考えると, 0<ak <3であるから
ak+11+ √1+ak 20
SE
ak+1=1+√1+an <1+1+3=3
したがって 0<ak+1 <3
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2)3-αn+1=2-√1+an
3-an
2+1+an3 3
(3-an)
n-1
(3-a₁)
(数学的帰納法
<0<a<3
<0 < ak から
ak<3から
<3-α>0で
ら 2+√1+
n≧2のとき
(3) (1), (2) 5 0<3-an
1n-1
lim(1/3) (3-a) = 0 であるから
したがって
lim(3-an)=0
00+U
liman=3
n→∞
<()*(3-
練習
α=2, n≧2のときan=
Jan-1
1
を満たす数列{an}について
2
③3
113
(1) すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。
(2) 数列{a} の極限値を求めよ。
