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て、こ
求めよ、
Think
例題 69
座標の利用
1 点の座標
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△ABCにおいて, 辺BC上の点をMとする.
(1)点M が辺BCの中点のとき, AB'+ AC'=2(AM' + BM2) である
ことを証明せよ.
(2)(1)の等式が成り立つとき,点Mは辺BC の中点となるかどうか調
べ について調べて
(S-) (0 S-) AS (2)
考え方 座標軸をとり、 文字で三角形の頂点の座標や辺の長さを表し、 代数的に証明する.
文字数を少なくする座標軸のとり方として、次の3つが考えられる.
(i) 原点Oが△ABCの頂 (ii) 原点0が1辺の中点 () 頂点から対辺への垂
点となるようにとる
となるようにとる
A(a,b)
YAA(a,b)
線の足を原点にとる
第3章
aA
B
O
\C
Cx
I-T-B
O
Cx 8-8 b
C
Cx
(1) 辺BC をx軸上,辺BCの垂直二等分線をy軸にとると,点Mは原点と
解答
なりA(a,b),B(-c.0 (c) とおくと(0)
T
AB+AC2={(-c-a)+(-b)2}+{(c-a)2+(-b)2}
=(a2+2ac+c+b2)+(a-2ac+c+62)
=2(a+b2+c2)
・①
2(AM2+ BM2)=2{(a²+ b²)+(-c)²}=2(a²+b²+c²)......2200
よって ① ② より 点Mが辺 BC の中点のとき,
AB2+ AC2=2 (AM2+BM2)が成り立つ.
(2)(1) と同様にA(a, b), B(-c, 0),C(c, 0) とおき, 辺BC上の点Mの座
(標を (0) とする.
(1)と同様に,
AB2+ AC2=2(a+b2+c2) ①
2(AM2+BM?)=2[{(m-a)+(-b)2}+{m-(-c)}2] いて
(=2(a+b2+c)+4m(m-a+c)
AB2+ AC°=2(AM + BM) が成り立つとき ① ③から
...③
4m(m-a+c)=0, つまり, m=0 または m=a-c(a)
m=0 のとき,点Mの座標は (0, 0) で, M は辺BCの中点である.
m=a-c のとき,点Mは辺BCの中点とは限らない.
よって,等式 AB2+ AC2=2 (AM'+BM) が成り立つとき,点Mは辺
BCの中点になるとは限らない .
=a-c (a>0,c>0) となる点Mの位置は,
注〉 (2)
ac のとき
AUTOHA
青森県
ざけん
城県
いわてけん
岩手県
・もも
・会津
づくり
トーン象
ac のとき
YA
YAA
01
M
B
IM
B
C
Oa-cca
