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基礎問
76 MAN AV
44 はさみうちの原理(I)
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ.
(2) 数列の和 Sm=
(1)をnで表せ。
(n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する.
両辺に2をかけて, 22k
ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より)
..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1
よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ.
(3) lim Sm を求めよ.
(1) 考え方は2つあります。
...
1 2
n
(2) Sm =
+
4° 4'
+・・・+
......
②
4"-1
1/Sn=
1
n-1 n
+・・・+
+
......3
4₁
4"-1 4"
② ③ より
3
(IIB ベク4 )
Sn=
+ 1
1
n
-(+)
+...+
n
4'
4"-1
-Sn=
4
1
4"
I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。
II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137
(2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121
S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。
(3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。
bn≦a≦cm のとき
.. Sn=
n
(3)(1)より2">n だから, (2")'>n
.
4">n²=0<<
20<
n 4
4-1
n
lim40 だから、はさみうちの原理より lim
11-∞ n
n
- 4-1
-=0
limb= limcn=α ならば liman = α
→00
11-00
この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま
す. (ポイント)
さらに, lim
lim (14) "=0 より lim.S,=-
16
11-00
9
「ポイント
解答
(1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法)
(x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると
k=0
2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn
n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n
.. 2">n
(解II) (数学的帰納法を使って示す方法)
2">n ...... ①
(i) n=1のとき
(左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ
演習問題 44
極限を求める問題の前に不等式の証明があれば,
はさみうちの原理を想定する
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと
数学的帰納法を用いて証明せよ。
"k
=215730 (n=1,2, …) とおく。このとき,
(2) Sm=
2
k=1
1 n
3 3+1
(3) lim Sm を求めよ.
11-00
が成りたつことを示せ.
CS CamScanner
第4章
