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うちの原理
数列{an)が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3 ......) を満たすとき
00000
(1)0<a<3を証明せよ。
(3) 数列{a} の極限値を求めよ。
3
(2)3-an+1<1/12 (3-4)を証明せよ。
[類 神戸大 ]
p.34 基本事項 3. 基本 21
2
2章
③数列の極限
指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法 の利用。
(2) (1) の結果,すなわち > 03-4>0であることを利用。
(3) 漸化式を変形して,一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で示した
不等式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 (3-αn) の極限を求める
はさみうちの原理 すべてのnについて p. San Sgn のとき
lipn=lign=α ならば liman =α
F18
なお, p.5455 の補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
(1) 0<an<3 · ① とする。
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると
0<ak<3
n=k+1のときを考えると,0<ak <3であるから
ak+1=1+√1+ak>2>0
ak+=1+1+a <1+V1+3=3
したがって 0<ak+1 <3
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
=
3-an
<
La 2+ √1+an (3-an)
(2)3-αn+1=2-√1+an
(3)(1),(2)からn≧2のとき
n-l
0<3-a) (3a)
lim(1/2) (3-a) =0であるから
lim(3-an)=0
したがって
liman=3
h-1
数学的帰納法による。
40<a<3
40<ax 5 √1+an >1
<a<3から1+an <2
<3-a>0であり,an>0
から 2+√1+an>3
mm2のとき、(2)から
3-an< (3-an-1)
<(1/2) (3
3-an-
なぜ有理化するのか…<(1) (3-0)
3-an pre
作りたいから
解答
2
