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重要 例題 45 無限級数Σ1/nが発散することの証明
0000
(1) すべての自然数nに対して,
2 1
k=1k 2
n
M +1が成り立つことを証明せよ。
(2)無限級数1+
1 1
+
2
1
++
+......
3
は発散することを証明せよ。
n
基本 34 重要 44
(1)数学的帰納法によって証明する。
(2) 数列{1} は0に収束するから、か.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項図②
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
2"/1/11
ここで,n→∞となる。
1)
解答
2章
k=1 k 2
n
+1
① とする。
1/8=1+1/2=1/3+1
[1] n=1のとき
k=1k
よって, ① は成り立つ。
[2]=m(mは自然数)のとき,① が成り立つと仮定すると11+1
このとき
2m+1
2m
2m+1
1
+-+
=
k=1k k=1 k
1
+
k=2" +1 k
(+1) +2 +1 +2 +2
2m+1 2m+2
2m
k=1 k
2
4
④無限級数
+......+
2m+1
=1+1+ +
1
1
.+......+
2m+1 2m+2
>m+1+gans2mm/+1+1
2m+2m
12m+1=2m2=2"+2m
1
2+2+2 (2)
1
2m+k
よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。(k=1,2,
2m-1)
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
(2) S=1/2" とすると,(1)から
2m
Snm
1
+1
k=1 k
2
ここで,m→∞のときn→∞ で lim m(2+1)=x
-1=8
limSn=∞
→∞
n→∞
00
したがっては発散する。
an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②)
n=1 n
72100
1210
0=0nalexmil
無限級数1/nの収束・発散について
8
数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 2αは発散するが (p.61 基本事項 2②),こ
n=1
=0であることから,このことが確認できる。
n
11は1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。
検討
の逆は成立しない。 上の (2) において lim
00
練習
@ 45
上の例題の結果を用いて,無限級数方
は発散することを示せ。
p.81 EX 32
