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力学
知
トク 等質量の弾性衝突では,速度が入れ替わる。
78の答えが出たら, M=mとしてみると分
かる。たとえば, Qがはじめ静止していると,
衝突してきたPが止まり, Qがひで動き出
すことになる。
79 なめらかな床上に, 質量 Mの板が, ばね定数に
のばねで結ばれて置かれている。 質量m (M/2)
↓
解
の物体が速さで板に当たるとき, ばねの縮みの
最大値はいくらか。 衝突は瞬間的とする。
M_
m
Vo
k
000000
(1)e=0 (2) e=
=1の場合について求めよ。
保存則の威力
(1)Pがばねを押し縮めると同時に, Qは
ばねに押されて動き出す。 ばねが最も縮
んだときとは,Qから見て接近してくる
Pが一瞬静止したときでもある。
VI 運動量
65
<止まった
相対速度 0
つまり、相対速度が
だ。し
したがって,このときQの速度も”である。
Qから見た
Pの運動
P.Qの速度は同じ
運動量保存則より
mv=mu+Mv
v=
m
m+M
-Vo
トク 2物体が動いているとき, “最も・・・"は相対速度に着目
りっきゃく
力学的エネルギー保存則, 運動量保存則とも運動方程式に立脚している。
しかし、保存則は運動方程式を超えた力を秘めている。 たとえば, 滑らかな
曲面をすべり降りたときの物体の速さや, 衝突の問題では運動方程式を用い
ても事実上解けない。 ただ, 保存則には適用条件があることは常に意識して
おかねばならない。
(2) 力学的エネルギー保存則より
Mu2+
1/21/11/21/12k
. 1=vok(m+M)
mM
ちょっと一言 ここでQ 上の人に保存則まで用いさせてはいけない。 保存則や
運動方程式は静止系(あるいは慣性系)で用いるべきもの。
ただし,次章で扱う慣性力の効果まで考慮すれば, 加速度系で用
いることもできる。
摩擦抵抗なし(保存力以外の力の仕事=0) 力学的エネルギー保存則
衝突・分裂 (物体系について外力=0)
運動量保存則
力学的エネルギー保存則は仕事を, 運動量保存則は力を条件にしていると
いう違いがある。 両者はまったく独立な法則であるが,両立することもあり,
車立的に解くタイプは概して難問となる。 が, パターンを心得ていれば, 取
いはむしろ一本調子だ。 猛犬を手なずけて忠犬としてしまおう。
EX 滑らかな水平面上に質量Mの球Q がばね定
数kのばねを付けられた状態で置かれている。
左から質量mの球Pが速度v で進んできた。
Vo
k
Q
m
M
(1) ばねが最も縮んだときのPの速度vを求めよ。
(2) ばねの編みの最大値を求めよ。
(3) やがてPはばねから離れた。Pの速度を求めよ。
(3) Qの速度をUとすると
運動量保存則より
mv=mu+MU ...... ①
ばねは自然長に戻っているから、力学的エネルギー保存則より
121212m2-12m+1/2 MU2
Uを消去して整理すると
2次方程式の解の公式より
.....2
(m+M)u2-2mvou+(mMv02=0
m±M
u=> m+Mv
u=v とすると,① より U=0 となって不適 (ばねに押された Qは右へ動
いているはず)
ium-M
m+M
V₁
ゆる
High (3) は P, Q がばねを介して緩やかな衝突をした後と見てもよい。エネル
ギーを失わない弾性衝突だから, e=1の式 u-U=) を②の
代わりに用いるとずっと速く解ける。
