(座標とy座標がともに整数値である点)の個数を求めよ。ただし,境界はすべて含
格子点の個数
例題193
標準応用(発展
基本
放物線y
と軸および直線z=2n (n は自然数)で囲まれる部分にある格子点
Yミ
むものとする。
領域内の格子点の個数
格子点の個数
→ x=kあるいはy=k上の格子点の個数を調べる
直線ェ=k上にある格子点の個数を a, とすると,求める個数は ao+atazt…
の さ )
POINT
+nになる。ここで直線z=k上の格子点は,下はy=0であるが,上は
である。
2
これは整数になることも,ならないこともある。そこで場合分けである。
解答
直線ェ=k(k=0, 1, 2,
44 とする。
7) 直線z=2k (k=0, 1, 2,
…, n)上での格子点のy座標はr
2n)上。の格子点の個数を
1ェ=k と放物線との交点のy
k?
座標はy=
S
数の場合と奇数の場合に分け
て考える。
2=2k のとき,
だから,kが偶
2
Y4
エ=2n
2k°
リ=0, 1, 2,
2k。
2°-2k
(2k)?
y=
2
8800
ので,z=2k 上での格子点は
したがって
azk=2k?+1
y=
2
-=2k? は整数となる
H)直線ェ=2k-1 (k=1, 2,
n)と放物線との交点のy座標は
(2k-1)
O
x=2k
リ=0からy=2k?までの計
2k°+1(個)ある。
=2k-1
-=2k°-2k+
言だから,格子点のy座標は
9=
2
リ=0, 1, 2, …, 2k-2k
したがって
3r=2k-1のとき,
a24-1=2k?-2+1
7,(イ)から,求める格子点の個数は
1
リ=2k?-2k+;キ整数だから
エ=2k-1上での格子点は,
2n
n
2a= ao+ E(a2h-1+ azk)
リ=0からy=2k°-2k+。
超えない最大の整数 2k?-2k
までの計2k°-2k+1(個)あ
を
k=0
k=1
k=1
る。
CHA=-(4n°+3n"+5n+3) (個)
+3
答
.
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