基本 例題126 領域を利用した証明法
x, yは実数とする。
(1) x°+y°+2x<3ならばx°+yー2x<15であることを証明せよ。
(2) x°+y°<5が2x+y>kの十分条件となる定数kの値の範囲を求めよ。
p.185 基本事項項2
指針>(1) 与えられた命題は, 式の変形だけでは証明しにくい。このようなときは,
領域を利用した証明法が有効。
つの号
この命題の仮定かと結論qの不等式を満たす点(x, y) 全体の集合を, それぞれ
P={(x, y)|x°+y?+2x<3}, Q={(x, y)|x°+y°-2x<15}
とすると「p→qが真である」 → PCQであるから, P, Qを図示することにより,
らくに証明できる。
(2)「カ→qが真である」 → 「はqの十分条件」→ PCQ
したがって,ここでは, {(x, y)|x?+y°<5}C{(x, y)|2x+y>k} となるようなkの値
の範囲を,図をかいて求めればよい。
CHART x, 3yの不等式の証明 領域の包含関係利用 も有効
解答
x°+y°-2x<15← (x-1)°+y?<4°
P={(x, y) (x+1)+y<2),
Q={(x, y)|(x-1)。+y°<4}
| とすると,図から, PCQが成り
立つ。
よって, x°+y°+2x<3ならば
x*+y?-2x<15が成り立つ。
(2) P={(x, y)|x+y°ハ5},
Q={(x, y)|2.x+yこk} とすると
x°+y?<5→ 2x+y>kが成り立っ
ための条件は
よって, 図から
P、
APは円 (x+1)°+y=2° の
内部,
-3
5x
Qは円(x-1)°+y°=4の
内部。
(2x+y=k→ y=-2x+k
傾きが -2, y切片がkの
直線。
PCQ
V5
x
-V5
|2-0+0-
-N/5
V22+1?
-15
k<0 かつ
(円の中心 (0, 0) と直線の
-5
距離)2(円の半径)
ゆえに
よって
kミ-5, 5名k
k<0との共通範囲をとって
4-k|=|k|であるから
kミ-5
|k|25
練習
11十宙新とする
