(2)の問題で、3^k-1になるところまでは分かったのですが、その後にΣ(3^k-1)をするのは何故ですか？ 3^k-1で既に和は求められているのではないのですか？教えてください🙇

(2) 与えられた数列は, 初項が1個, 第2項が2個の和, となっているから, 「p.477 基本事項1, 2, 基本9 次の数列の 出書 (1) 1-1, 2.4, 3·7, 4·10, (2) 2, 2+6, 2+6+18, 2+6+18+54, (2) 日本福祉大) CHARTOSoLUTION 0-0- 数列の和の計算 まず第々項(一般項), 次に和の公式 (1) 各項はロ·COの形。 一般項はk 一般項は 3k-2 ロは1, 2, 3, 4, ○は1,4, 7, 10, 第を項はん個の和となる。 また, 等比数列の和 Sn=" (初項 a, 公比 rキ1) を利用。 ァー1 解答) (1) この数列の第ん項は k(3k-2) ゆえに S=Zk(3k-2)= (3k°ー2k)=3 ペー2Ek こを使うときは,2a n k=! の形にすることから一 般項はnの式でなく、k k=1 k=1 k=1 k=1 -3(の+1)(2n+1)-2ラか(ス+1) 5 =ラかの+1)(2n+1)-2}=n(n+1)(2n-1) の式で表すことが多い。 (2) この数列の第え項は これは,初項2,公比3の等比数列の初項から第ん項までの 2+2-3+2·3°+ +2·34-1 2+2·3+…+2-3* と 間違えないように! 和であるから 2(3-1) -=3*-1 3-1 の S=E(3*-1)= 23*-Z1 ゆえに n n k=1 k=1 *23* は,初項3, 公比 の等比数列の初項から 第n項までの和。 k=1 3(3"-1) k=1 -n 3-1 37+1 s- ミ 2 なお S=E 2 と書ける。 ふさ

(3)と(4)教えて欲しいです🙇‍♀️

440 81) 基本例題129 次の足し算,引き算の結果を, [ ]内の表し方で表せ。 ¥1 1111 (2)+110(2) [2進法] 10110(2)-1001(2) [2進法] 8S00000 n進数の足し算·引き算 >(2) 21() +43(5) [5進法] X(4) 302(4)-133(4) [4進法] b.437 基本事項2 重要132 CHART OSOLUTION n進数の足し算引き算 2進数の足し算,引き算では, 次の計算がもとになる。 0) +0(2)=0(2), 0(2)+1(2)3D1(2)+0(2)=1(2), 1(2)+1(2) =10(2) 0(2)-0(2)=0(2), 1(2)-0(2)=1(2), 1(2) -1(2) 30(2), 10(2)-1(2)31(2) 一般に,n進法の足し算 引き算も, 10進法や2進法と同様に 繰り上がり(n-1) (n)+1(m)310(n) に気をつけて計算すればよい。 また,いったん 10 進数に直して計算し,最後にn進数に直して計算してもよい。 繰り下がり 10(m)-1(m) 3 (n-1)() 解答) 10進法で計算すると (1) 1111(2)+110(2) =10101(2) 1111(2) + 110(2) 10101(2) 全和が2になると繰り上 がるから 111(2) 12) 1000(2) となる。 15 + 6 21=10101(2) (2) 21(5) +43(5)=114(5) 10進法で計算すると 21(5) 和が5になると繰り上 11 がるから 43(5) 114(5) 23 2(5) 34=114 5) + 4(5) (3) 10110(2)-1001(2) =1101(2) 10110(2) 1001(2) 1101(2) 10進法で計算すると 11(5) となる。 2進法の繰り下がりは 10(2) 22 9 - 1(2) 13=1101(2) 1(2) となる。 (4) 302(4)-133(4)=103(4) 10進法で計算すると 302() -133(4) 103(4) 4進法の繰り下がりは 302(4) 50 31 19=103(4) 3(4) となる。 233(4) PRACTICE…129°

二次方程式の問題で、「k =2 または a= 2」のところで終わってはいけない理由(たぶん右側の「十分条件であることを確かめる」)が分かりません。 誰かわかりやすく説明してほしいです🙇‍♀️

125 重要例題79 方程式の共通解 080OC 2つの2次方程式 2.x°+kx+4=0, x+x+k=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように, 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。 基本 75 CHARTO SOLUTION 方程式の解 x=« が解 一 2つの方程式の共通解を x=αとすると, それぞれの式に x=αを代入した 20+ka+4=0, α"+α+k=0 が成り立つ。これを α, kについての連立方程式 とみて解く。実数解という条件に注意。 x=« を代入して方程式が成り立つ 解答 3章 共通解をx=α とすると 20°+ka+4=0 の-2×2 から *x=α を代入した① と 2の連立方程式を解く。 α2+α+k=0 (k-2)α+4-2k=0 (k-2)α-2(k-2)=0 (k-2)(α-2)=0 k=2 または α=2 全の項を消す。 すなわち よって ゆえに [1] k=2 のとき 2つの方程式は,ともに x°+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると 全共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら,逆を調べ十分条件で あることを確かめる。 D=1°-4·1·2=-7 こる 全ax+ bx+c=0 の判別 式は D=b°-4ac D<0 であり,実数解をもたないから, k=2 は適さない。 [2] α=2 のとき 2から 22+2+k=0 ゆえに k=-6 このとき2つの方程式は 全2(x-1)(x=2)=0, $) (x-2)(x+3)=0 2x-6x+4=0 … x°+x-6=0 2の解は x=2, -3 となり,O'の解は x=1, 2 よって,確かにただ1つの共通解 x=2 をもつ。 [1], [2] から k=-6, 共通解は x=2 INFORMATION この例題の場合, 連立方程式①, ② を解くために,次数を下げる方針で α? の項を消 去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。 下の PRACTICE 79 の場合は, 定数項を消去する方針の方が有効である。 SI-= PRACTICE…79 ④ xの方程式 x°-(k-3)x+5k=0, x°+(k-2)x-5k=0 がただ1つの共通解をもつ ように定数kの値を定め,その共通解を求めよ。 2次方程式

この問題を合同式（mod）を使って計算することはできますか？

12 で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 基本例題123 1次不定方程式の整数解の利用 OOOO0 基本122 CHART SOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+6y=c の形に変形 条件を満たす自然数は, 整数x, yを用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め, それから題意の自然数を 求める。 解答 求める自然数をnとすると, nはx, yを整数として, 次のよう に表される。 aをもで割った商をg. | 余りをrとすると a=bq+r n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 『すなわち 12x-7y=3 の x=3, y=5 は,12.x-7y=1 の整数解の1つであるから まず, ① の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 12-3-7-5=1 の整数解を求める。 両辺に3を掛けると の 12.9-7·15=3 12(x-9)-7(y-15)=0 12(x-9)=7(y-15) の-2から すなわち 12 と7は互いに素であるから,3を満たす整数xは x-9=7k すなわち x=7k+9 (kは整数) *nを求めるためには、 x, yの一方が求まれば よい。 と表される。 したがって n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 84k+109 が3桁で最大となるのは, 84k+109<999 を満たす kが最大のときであり, その値は このとき 参考 解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め,それか ら3を導いて解いた。 しかし,例えばx=2, y=3 がOの整数解の1つであ ることに気がつけば, これを用いて解いてもよい。 本間のように,x, yの係数が比較的小さいときは, 整数 解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場合も 全84k+109 999 から 999-109 k=10 kS 84 n=84·10+109=949 =10.5……… * 12-2-7-3=3 と①から 12(x-2)-7(y-3)=0 ある。

自分で無理やり解いてみたのですが良く分かりません 教えて下さい！

Rewrite the following sentences using S+being [(do)ing, etc.]. 0 1After all things were considered, I found this solution the best. 2 Since the traffic is heavy tonight, they should catch an earlier bus. 3. As there were so many marathon runners, we couldn't find our sister.

(2)教えて欲しいです。 どうして、n分の19が有限少数だと分かったんですか？？

127 有限小数,循環小数 を小数で表したとき,/整数部分が1以上の有限 基本例題 OO00 0f0 13 (1)っを小数で表したとき, 小数第 50位の数字を求めよ。 nは自然数とする。 n 小数で表されるようなnは何個あるか。 p.437 基本事項] CHARTOSoLUTION 分数の分類 分数は、整数,有限小数, 循環小数のいずれかで表される (1) 分母の13の素因数は 13であるから循環小数になる。k個の数字が繰り返し 現れるなら, 50 をんで割った余りに着目。 小線 (2) 既約分数 m が有限小数で表される → nの素因数は 2, 5だけからなる n また 有限小数Nの整数部分が1以上 → N>1 を利用する。 解答 1 -=0.0769230…=0.076923 13 よって,小数点以下で 076923 の6個の数字が循環する。 0.0769230……を見て, 0076923 が循環すると早 合点してはいけない。 19) 50=6-8+2 であるから,小数第 50位の数字は 076923 の2番目の数字 で7である。 19 の整数部分は1以上であるから o(2まない nは自然数であるから 分母nの素因数が 2,5だけからなるとき, 有限小数となるか ら,0の範囲で素因数が 2,5だけのものを求めると 2'-5°=2, 2°-5=4, 2*-5°=8, 2*-5°=16. 2°.5'=5, 2'·5'=10 よって, n=2, 4, 5, 8, 10, 16 の 6個ある。 19 n *整数は有限小数ではな 1<n<19 19 いから, =1, 19とな n るようなnは除く。 - 2-5の形の数で①を 満たすものを求める。 6=0, 1 に着目。

全くわからないです。 1行目までは分かりました。 教えて欲しいです🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

基本例題 106 と重要例題 107 では国のタイプを, 基本例題124 では2のタイプを 430 OOOO0 重要 例題125 分数方程式の自然数解 +=1 かつ x<y<z を満たす目然数x, y, 2 の組をすべてい y 「 23 1 1 1 x 【神戸薬大) 基本 124 CHART SOLUTION 方程式の自然数解 1 (整数)×(整数) 3 (整数) の形にもち込む 2 不等式で範囲を絞り込む 学習した。 本間の方程式は重要例題 107 (1) と似た形の分数方程式ではあるが, 未知数が3っ あるため, 分母を払って整数の積の形にもち込むのは無理。 そこで,ここは図の方針でいく。 0.3 0.5 1 1 x, y, zが自然数かつ x<y<zから 1 く y x 1 1 1 1 く x 11 1 1 これを利用すると 2 y 2 x x x これと、++-1 から 3<1< 3 y 2 x 3 2<1 から z>3 となるが, z の値の絞り込みにはならない。 から x<3 となることを利用して,まずxの値を絞り込む。 x 解答 0<x<y<z であるから y -0<aく6 のとき 1 1 1 1 く。 ゆえに 1 1_3 x y x 6 a x x x 1 1 1 -=1 であるから y 3 1< x x 『よって x<3 xは自然数であるから x=1, 2 [] x=1 のとき,等式は +=0 1 1 y 2 これを満たす自然数 y, zの組は存在しない。 [2] x=2 のとき, 等式は 1 1 1 1,1,1-1から。 2y y 2 の 2 ここで, 0<y<z であるから 1<1 y

この2つの場合分けの意味がわかりません。解説お願いします

基本例題64 2重解をもつ条件 3次方程式 x°+(aー1)x"+(4-a)x-4=0 が2重解をもつように、 102 本ら、 定数aの値を定めよ。 CHART SOLUTION 3次方程式の問題 因数分解して(1次式)×(2次式) へもち込む ……の x=1 を代入すると成り立つから, 与えられた方程式は (xー1)g(x)=0 [g(x) は2次式] の形となる。 ここで,「2重解をもつ」 のは次の2通りで, 場合分けが必要。 [1] 2次方程式 g(x)=0 が1でない重解をもつ。 [2] x=1 が2重解 → g(x)=0 の解の1つが1で, 他の解は1でない。 (解答 f(x)=x°+(a-1)x+(4-a)x-4 とすると F(1)=1°+(a-1).12+(4-a)·1-4=0 よって,f(x) は x-1 を因数にもつから f(x)=(x-1)(x?2+ax+4) 1 a-1 4-a -4 1 a 4 1 4 00 (x-1)(x°+ax+4)3D0 x-1=0 または x°+ax+4=0 a 『ゆえに,方程式は したがって この3次方程式が2重解をもつ条件は, 次の [1] または [2] が 成り立つことである。 [1] x+ax+4=0 が1でない重解をもつ。 判別式をDとすると D=q°-16=(a+4)(α-4) D=0 とすると a=±4 [2] x°+ax+4=0 の1つの解が1,他の解が1でない。 x=1 が解であるから 別解次数が最低のす について整理する方 因数分解してもよい。 xーx+4x-4+a(は =(x-1)(x°+4)+ax =(x-1)(x°+ax+4 D=0 かつ 1°+a·1+4=a+5キ0 これは a+5キ0 を満たす。 1千a-1+4=0 inf. 次のように考 よい。 [2] x+ax+4=0 1と8(キ1)のと と係数の関係か 1+8=-a, 1 B=4 は適する。 よって a+5=0 ゆえに a=-5 このとき x-5x+4=0 これを解いて よって (x-1)(x-4)=0 x=1, 4 したがって,他の解が1でないから適する。 [1], [2] から,求める定数aの値は a=±4, -5

大学入試でこういうのは出るのでしょうか？？ 今、全くわからなくて、解いている時間が勿体ないなと感じました、 教えて欲しいです！解き方が分からないです！！！

補充例題 118 合 (2) α'+が=c* ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であるこ (1) nを7で割った余りが4であるとき, n°+2n+3を7で割った余りを求 文字はすべて整数とする。合同式を用いて, 次の問いに答えよ。 (1) nを7で割った余りが4であるとき, n'+2n+3を7で割った余りた。 めよ。 (2) α'+が=c" ならば, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数であ2、 とを証明せよ。 p.418, 419補足 C HART OSOLUTION 整数の余りに関する問題 合同式を利用する a=b (mod m), 0<6くm の形を作る。 (1) n+2n+3=6 (mod 7), 0名6く7 となれば, 求める余りは6 (2) 重要例題115と同様に, 背理法を用いて証明する。 解答 (1) n=4 (mod 7) のとき n+2n+3=4°+2·4+3=27=6 (mod 7) よって, 求める余りは 6 (2) 5を法として考えると,整数nが5の倍数でないとき, n=±1, n=±2 のいずれかが成り立つ。 全 27=27-3-7=6 (mod1) 合 (mod 5) を省略するとき は,必ずを断る。 よって n°=1 または n=4 合n=±1 のとき パ=! a+8=c° のとき, a, b, c がすべて5の倍数でないと仮定 すると, α', 6', c?はそれぞれ1または4と合同である。 [1] a=1, 6°=1 のとき [2] a=1, 6°=4 のとき [3] =4, 6°=1 のとき [4] a=4, 6°=4 のとき n=±2 のとき nパ=! a+6°=2 a+6°=5=0 a'+°=5=0 a°+6°=8=3 であることに矛盾する。 ゆえに, a, b, cのうち少なくとも1つは5の倍数である。 参考(2) [1]~ [4] の考察は, 右のような表にまと めて答えてもよい。 りは0,2,3のいずれは である。 4 4 1 a° 1 1 6? 1 4 a°+6° PRACTICE…118 文字はすべて整数とする。合同式を用い

(2)の線を引いてるところ教えて欲しいです！ この断りは、必要なんですか？る

(2) (1+/2)x+(-2+3/2)y=10を満たす有理数 x, yの値を求めよ。 76 OO00 メリ4,6は有理数とする。 a+b/T =0 のとき, VT が無理数であること。 基本例題 44 有理数と無理数の関係 ) a. bは有理数とする。a+b/T=0 のとき, V が無理数である、 用いて、/6=0 であることを証明せよ。 OT j CHARTOSOLUTION (1) 直接がだめなら間接で 背理法 bキ0 と仮定して矛盾を導く。 (2) (2 について整理して, (1)の結果を利用する。このとき, 前提条件 「x, yは有理数,/2 は無理数」 を書くことを忘れないよう注意。 ·14 解答 *a+b/T =0 から b/T =-a 両辺を6(キ0) で割る。 T=-。 a (1) 6キ0 と仮定すると a a, bは有理数であるから, 右辺の -ーは有理数である。 T=- a b 四 左辺の、T は無理数であるから, これは矛盾している。 よって 6=0 (2) 与式を変形して (x-2y-10)+(x+3y)/2 =0 2 について整理。 「x, yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数であ り, /2 は無理数である。 ) ゆえに,(1)の結果から 2をOに代入して 2, ③ を解いて inf.上の例題(1) において, b=0 を a+b、l =0 に代入すると a+0-/T =0 から a=0 よって, a+b/l =0 のとき a=b=0 が成り立つ。 なお,「a, bは有理数」という記述がないと, a+b、2=0 を満たすa, bは a=U" だけではなく, a=2 (無理数), b=-1 なども適してしまう。 *この断りは重要。 詳しくは右ページ報 4わ . る (xー2y-10)+0{2=| x+3y=0 x-2y-10=0 3 x=6, y=-2 から x-2y-10=0 LOINT 有理数と無理数 a, b, c, dを有理数,T を無理数とすると 0 a+b/T=0 ② a+b、T=c+d/T のとき のとき a=b=0 PRACTICE… 44 3 So