(2) (1+/2)x+(-2+3/2)y=10を満たす有理数 x, yの値を求めよ。
76
OO00
メリ4,6は有理数とする。 a+b/T =0 のとき, VT が無理数であること。
基本例題 44 有理数と無理数の関係
) a. bは有理数とする。a+b/T=0 のとき, V が無理数である、
用いて、/6=0 であることを証明せよ。
OT
j
CHARTOSOLUTION
(1) 直接がだめなら間接で 背理法
bキ0 と仮定して矛盾を導く。
(2) (2 について整理して, (1)の結果を利用する。このとき, 前提条件
「x, yは有理数,/2 は無理数」 を書くことを忘れないよう注意。
·14
解答
*a+b/T =0 から
b/T =-a
両辺を6(キ0) で割る。
T=-。
a
(1) 6キ0 と仮定すると
a
a, bは有理数であるから, 右辺の -ーは有理数である。
T=-
a
b
四 左辺の、T は無理数であるから, これは矛盾している。
よって
6=0
(2) 与式を変形して
(x-2y-10)+(x+3y)/2 =0
2 について整理。
「x, yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数であ
り, /2 は無理数である。 )
ゆえに,(1)の結果から
2をOに代入して
2, ③ を解いて
inf.上の例題(1) において, b=0 を a+b、l =0 に代入すると
a+0-/T =0 から a=0 よって, a+b/l =0 のとき a=b=0 が成り立つ。
なお,「a, bは有理数」という記述がないと, a+b、2=0 を満たすa, bは a=U"
だけではなく, a=2 (無理数), b=-1 なども適してしまう。
*この断りは重要。
詳しくは右ページ報
4わ .
る (xー2y-10)+0{2=|
x+3y=0
x-2y-10=0
3
x=6, y=-2
から x-2y-10=0
LOINT
有理数と無理数
a, b, c, dを有理数,T を無理数とすると
0 a+b/T=0
② a+b、T=c+d/T のとき
のとき a=b=0
PRACTICE… 44
3
So
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