Question

Chihi

二次方程式の問題で、「k =2 または a= 2」のところで終わってはいけない理由(たぶん右側の「十分条件であることを確かめる」)が分かりません。
誰かわかりやすく説明してほしいです🙇‍♀️

125
重要例題79 方程式の共通解
080OC
2つの2次方程式 2.x°+kx+4=0, x+x+k=0 がただ1つの共通の実数
解をもつように, 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。
基本 75
CHARTO
SOLUTION
方程式の解
x=« が解 一
2つの方程式の共通解を x=αとすると, それぞれの式に x=αを代入した
20+ka+4=0, α"+α+k=0 が成り立つ。これを α, kについての連立方程式
とみて解く。実数解という条件に注意。
x=« を代入して方程式が成り立つ
解答
3章
共通解をx=α とすると
20°+ka+4=0
の-2×2 から
*x=α を代入した① と
2の連立方程式を解く。
α2+α+k=0
(k-2)α+4-2k=0
(k-2)α-2(k-2)=0
(k-2)(α-2)=0
k=2 または α=2
全の項を消す。
すなわち
よって
ゆえに
[1] k=2 のとき
2つの方程式は,ともに x°+x+2=0 となる。
その判別式をDとすると
全共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
ら,逆を調べ十分条件で
あることを確かめる。
D=1°-4·1·2=-7 こる
全ax+ bx+c=0 の判別
式は D=b°-4ac
D<0 であり,実数解をもたないから, k=2 は適さない。
[2] α=2 のとき
2から
22+2+k=0
ゆえに
k=-6
このとき2つの方程式は
全2(x-1)(x=2)=0, $)
(x-2)(x+3)=0
2x-6x+4=0 …
x°+x-6=0
2の解は x=2, -3
となり,O'の解は x=1, 2
よって,確かにただ1つの共通解 x=2 をもつ。
[1], [2] から
k=-6, 共通解は x=2
INFORMATION
この例題の場合, 連立方程式①, ② を解くために,次数を下げる方針で α? の項を消
去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。
下の PRACTICE 79 の場合は, 定数項を消去する方針の方が有効である。
SI-=
PRACTICE…79 ④
xの方程式 x°-(k-3)x+5k=0, x°+(k-2)x-5k=0 がただ1つの共通解をもつ
ように定数kの値を定め,その共通解を求めよ。
2次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ログアウト済み

k＝2 または α＝2 は、あくまで「共通解」をもつための条件であり、「ただ1つの共通解」をもつための条件であるとは上から6行目までの記述では言えないからです。

《補足》「十分条件であることを確かめる」とは
「共通解をもつ｣ ならば「ただ1つの共通解をもつ」ための【 】である。
空欄【 】に当てはまるのは「必要条件であるが、十分条件ではない｣ です。
ただ1つの共通解をもつには、共通解をもつことが必要です。また、共通解をもつならば、ただ1つの共通解をもつとは言えないです (上で述べた通り)。

Chihi

ありがとうございます。確かめる理由はわかったのですが、その確かめる方法については、kを代入して解を求めて、共通解が一つであることを確認するということだと思うのですが、k=2のときで判別式を使っているのはなぜですか？
また、共通解を持つ=実数解を持つということではないのですか？

ログアウト済み

x²＋x＋2＝0 を解こうとすると、√ の中身がマイナスになりますよね。
そのまま解いて、実数解ではない（虚数解）ので不適。
としても良いですが、高校1年の段階では、虚数を学習していないので、実数解ではないことを示す違う手段として判別式をとっています。

また「共通解をもつ＝実数解をもつ｣ とは常に言えません。上で述べたように、虚数解の可能性も考えられます。