(1)で、赤マーカーで囲われてるところの条件付き確率の求め方が分かりません。助けてください。

14 赤玉のときは更に同じ大きさの赤玉を2個加えてもとに戻すことにする 基本 52 2回目に白玉が出る確率 複雑な事象の確率 排反な事象に分解する 1回目に白玉が出る事象をA, 2回目に白玉が出る事象をBとする。 (1) B=(ANB)U(AnB) であり, ANBとANB は排反事象 であるから, 確率の加法定理により P(B)=P(ANB)+P(ANB) 右辺のそれぞれの確率は, 乗法定理 P(ANB)=P(A)P.(B) を用いて計算する。 CHARE SOLUTION B ANB ANB 解答 1回目に白玉が出る事象をA, 2回目に白玉が出る事象をBと する。 (1) 2回目に白玉が出るのは [1] 1回目:白,2回目:白 [2] 1回目:赤, 2回目:白 の場合があり,[1], [2] は互いに排反であるから, 求める確 率は P(B)=P(ANB)+P(ANB) =P(A)PA(B)+P(A)Pa(B) 6 5 6 -X 5+1 - P.(B)=+1 I 10+1 5 5_127 三 10 (2) 白玉と赤玉が1回ずつ出るのは [1] 1回目:白,2回目:赤 11 10 12 264 5 10+2 12 5 Pa(B)=- [2] 1回目:赤,2回目:白 の場合があり,[1), [2] は互いに排反であるから, 求める確 率は P(ANB)+P(AB) =P(A)P.(B)+P(A)PA(B). -5、 5 X 10^11 5 5115 5 10°12 264 PA(B)= 10+1 PRACTICE…53° 白T

下のインフォメーションのところにもあるようにこの問題は二次関数利用でも解と係数の関係のどちらを使っも解けるということですか？ 二次関数の問題の途中でこの問題が出てきたときに解と係数の関係を使ってもいいということですよね？

77 基本例題 49 2次方程式の解の存在範囲(1) 0dOOO 2次方程式 x°+2(a-3)x+a+3=0 の解が次の条件を満たすような定数a の値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 異なる2つの正の解をもつ (2) 異符号の解をもつ D.70 基本事項 4 CHART OSOLUTION 2次方程式の異なる2つの実数解α, Bの符号 α>0 かつ B>0 → D>0, α+B>0, αB>0 αとBが異符号 → cB<0 解と係数の関係を用いて, α+B, aBをaを用いて表す。 解答 x+2(a-3)x+a+3=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式をD とすると リー(a-3)?-(a+3)3(a-1)(a-6) 解と係数の関係により (1) a, Bが異なる正の数であるための条件は,次の ①, ②, ③ が同時に成り立つことである。 e+B=-2(a-3), aB=a+3 D>0 の, α+B>0 . 2, aB>0. …3 のから a<1, 6<a ②から a<3 ③から a>-3 6) の, ⑤, ⑥ の共通範囲を求めて (2) a, Bが異符号であるための条件は よって, 求めるaの範囲は -3<a<1 -3 13 6 a 合このとき, D>0 は成り 立っている。 (p.704解説参照) a8<0 a<-3 INFORMATION 2次関数のグラフを利用 f(x)=x°+2(a-3)x+a+3 のグラ フを利用すると, α<B として fx)+ ー= 20 0 Ol Q (軸の位置)>0 f(0)>0 (2) f(0)<0 (b.715補足参照)

Σの計算をまだ始めたばかりでルールがよくわかっていないのですが、線で引いてある通り因数分解した形にしなくてもいいのですか？ これを見るまで因数分解をしなければならないと思っていたのですが

m ○O000 基本例題 91 (kの整式)の計算 次の和を求めよ。 14 (3) 2(2k-9) n (1) と&(R?+1) (2) 2(3nk+k) k=5 k=1 k=1 p.477 基本事項1, 十 十十の十3 CHART O SOLUTION この計算 1 この性質, 公式を利用 (1) この性質を用いて, この和の形にし, こk, Zkの公式を適用する。 この計算結果は, 因数分解しておくことが多い。 1 2 具体的に書き並べる a の計算では, nはkに無関係であるから, 例えば こnk=n2kのよ k=1 k=1 k=1 うに,この前に出すことができる。 (3) この下のkが1から始まらないので, 直接公式を使うことができない。そこ 14 14 4 で,2(2k-9)=X(2k-9)- (2k-9) として求める。 on k=5 k=1 k=1 この下の変数を1から始まるようにおき換える方法も有効 (ズーム UP参照。 答

解説のビックリマークのところが、よく分かりません。

-③ が1点で交わるとき, 3点(1, 1), (4, 5), (a, b)は、 128 重 2, 重要例題 82 共点と共線の関係 異なる3直線 x+y=1 ax+ by=1 ……..③ が1点で交わるとき, 3点(1, 1), (4, 5), (a , 同じ直線上にあることを示せ。 …①, 4.x+5y=1 基本7。 CHARTO SOLUTION 2直線の, ②の交点を求め,それが直線 ③上にあるための条件式を導く。 そして,2点(1, 1), (4, 5) を通る直線上に点(a, b)があることを示す。 … また,別解のように, 次の性質を利用する方法もある。 点(b, q)が直線 ax+by+c=0 上にある → ap+bq+c=0 → 点(a, b)が直線 px+qytc=0 上にある 解答 0, ② を連立して解くと よって,2直線 ①, ② の交点の座標は この交点(4, -3) は直線③上にもあるから x=4, y=-3 合係数に文字を含まない O, ② を使用する。 -3直線が1点で交わる から, 2直線①, ② の交 点が直線3上にもある。 合 3点が同じ直線上にあ ることを示すには, 2点 を通る直線上にもう1 点があることを示す。 4a-36=1 の また,2点(1, 1), (4, 5) を通る直線の方程式は 5-1 ソー1= (x-1) すなわち 4x-3y=1 4-1 『のから,x=a, y=b は 4x-3y=1 を満たす。 よって,点(a, b)は, 直線 4x-3y=1 上にある。 したがって,3点 (1, 1), (4, 5), (a, b) は, 同じ直線 4a-36=1 4x-3y=1 上にある。 →点(a, b) は直線 Gト 4r 2ー Imll

（2）でなんでOP・OAが０になるのか教えてください！

| 平面上の異なる2つの定点 0, A と任意の点Pに対し, 次のベクトル方程式 よって,線分 0A を直径とする円 を 本例題 41 円のベクトル方程式 41 円のベクトル方程式 上の異なる2つの定点0, A と任意の点Pに対し, 次のベクトル方程式 はどのような図形を表すか。 0 |20P-0A|=4 (2) OF-OF=OF.OA p.390 基本事項3 重要44 SOLUTION CHART 円のペクトル方程式 1(ベクトルの大きさ)=一定 を導く 2(内積)=0 を導く D 動点と定点(円の中心)の距離が一定であることを示す。 2 動点と2定点(直径の両端)を結んでできる2つの線分が直交することを示 す。 (1) 回の方針。 0 |20P-OA|=4 を変形すると P. OF -OA=4 全OP の係数を1にするた めの変形。 2 すなわち OF--0A=2 *線分OA の中点をBとす ると 1OF-OB|==2 よって,IBP|=2 (一定) と表すことができる。 2OA ゆえに,線分 0A の中点を中心とする 半径2の円を表す。 0 A (2) 2の方針。 2 Op-OF=OF-OA を変形すると OP-OF-OF-OA=0 addeる よって P。 OF-(OF-OA)=0) となる点 すなわち OF-AP==0 介 (内積)=0 ゆえに 0 OF=0 または AF=0 または OPLAP 合 OPLAP のとき, 点P は線分OA を直径とする 円周上(点0, Aを除く) 表す。 にある。 一2

数Aです。 この問題がどうしても分からなくて… どなたか分かる方教えてください🙏🏼

りうる最大値と最小値を求めよ。 代給求 であった。カゼ薬と胃薬を両方とも携帯した人数をmとするとき, mのと 24 9 集合の要素の個数の最大と最小 のOOOO 重要例題 のうる最大値と最小値を求めよ。に 【北海道薬大) 基本3 SOLUTION CHART 要素の個数の最大·最小まめよ。 図をかいて n(ANB)=n(A)+n(B)-n(AUB) の利用。)n- n(A)+n(B) が一定なら, n(AUB) が最小のとき n(ANB) は最大, n(AUB) が最大の 資 限合 の 1 順に求める () 2 方程式を作る とき n(ANB) は最小になる。 解答 『全体集合をひとし,カゼ薬の携帯者の集合を A, 胃薬の携帯者 | 左の解答の方針は口, 別解 の集合をBとすると の の方針は回。 n(A)=75, n(B)=80, n(ANB)=m n(ANB)=n(A)+n(B)-n(AUB) m=75+80-n(AUB)=155-n(AUB) [1] n(AUB)が最小になるのは,n(A)<n(B) であるから ACB のとき,すなわち 50n(AUB)=n(B)=80 5nUA)TOU のときである。-OU(aUA)=DU nn u100), 12] n(AUB)が最大になるのは, n(A)+n(B)>n(U) であ るから AUB が全体集合になるとき, すなわち n(AUB)=n(U)=100 -U(100) 個数定理から B(80) A (75) よって (低)- B(80) A(75) のときである。 以上から, m の最大値は 155-80=75 m の最小値は 155-100=55 -旅行者(100)- 別解 右の図のように, 要素の個数を定めると m+p=75, mn+q=80, (75+80-m)+r=100 カ=75-m, q==80-m, r=m-55 JC 速国 p20, q20, rz0 から(1 55ミm<75)ハ+()n%3 (日UA)n 2m の最大値は75, m の最小値は550 =8nA カゼ薬 (75) 胃薬 (80) これから p m q よって 0sa (0140A) A部 (

(2)は何故場合分けが2つなのですか？ X=0の時は最小値にならないのですか？

まれていれば頂点で最小となる。したがって,軸が定義域 0三xSaに含ま aは正の定数とする。 0SxSaにおける関数 / (x)%3x"-4x+5 について 本例題 61 定義域の一端が動く場合の関数の最大 最小 O〇00円 (a (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 Ap.97 基本事項3, 基本 58 基本62. CHART SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が 0SxSa で あるから,文字aの値 が増加すると定義域の 右端が動いて,xの変 域が広がっていく。し VVEU 軸 軸 区間の 右端が 動く 区間の 右端が 動く *=0 x=4 *=0 X=a オ=0 たがって, aの値によ って,最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほと yの値は大きい(か.100 INFORMATION 参照)。したがって, 定義域 0SxSa の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する ようなaの値が場合分けの境目となる。 [1] 軸が定義域の 中央より右 [2] 軸が定義城の ←定義域の両 端から軸ま での距離が 等しいとき 13] 軸が定義域の 中央より左 中央に一致 軸 軸 軸 最大 最大 最大 最大 定義域 の中央 定義域 の中央 定義城 の中央 (2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域 0Sx34 るか含まれないかで場合分けをする。 軸 軸が定義域 の外 軸が定義域 の内 最小 最小

なぜＸとＹが赤字のように表せるのでしょうか？

基本例題55 p.79 基本事項2 x, yが 2x°+3y°=1 を満たす実数のとき, x?-y?+xy の最大値を求めよ。 [早稲田大) CHART SOLUTION 15円 る 2次曲線上の点における式の値の最大 最小 2次曲線上の点は媒介変数表示が有効 2章 介 1 - cos e, y=ー 1 -sin0 として, x-y°+xyを三角関数で表す (三角関 V3 x= 6 2 数の合成を利用)。 9AH I0 解答 楕円 2x?+3y°=1 上の点(x, y) は, x? 2 1 x= cos 0, y=- -sin0 (0<0<2π) 3 V2 と表されるから 媒介変数表示

参考書によって係数に文字を含む2次関数の最大値の問題の答えが 軸が定義域の中央値も取る場合と取らない場合があるのですが、どちらに従えばいいのでしょうか？

定義域の中央値で場合分け |2次間数の最大値を求めるときも, 最小値の場合と同じように考えれは、 ダメダメ! 最大値を求めるときの場合分けは, 最小値のときとは通うとこ、 | 2次関数/(z) =a(z-カ)+qの2<z<4における最大値を考えていくよ。 パターン 解法 036 最大値の場合分け 36 最大値の場合分け(下に凸のタイプ) 109 「定義域の中央の3より,軸のエ=pが 左側にあるときは右のf(4) が最大 右側にあるときは左のf(2) が最大になるんですね。」 Point!最大値の場合分け (下に凸のタイプ) のかな?」 軸が、定義域の中央の値より, 左側 or 右側のどちらにあるかで場 合分け! 目して分けるんだ。 の場合,グラフは下に凸だ。 問題036 2次関数f(z)=(r-p)?+3 (0Sェ<2) の最大値を求めよ。 最大 f(4) 最大 f(4). 解答 (i) 軸が定義域の中央値より左側 2 (i) 軸が定義域の中央値より右側 4 2 4 X 車軸 車軸 軸 X=p X=P y= f(x) 9= f(x) 2次関数のグラフは,軸を中心として左右対称なので, 上の2つの図では ら遠いf(4)が最大値となるんだ。 最大 最大 x=p(=3) また。軸が定義域の真ん中, つまりカ=ー 2+4 -=3のと 2 3 きは、f2)と「(4)の両方が最大値となるよ。 これを基 準に考えて、軸:エ=pが3より大きいか小さいかで, F2)とf)のどちらが最大になるかが変わっていくん だ。 X 1P 2 0 P1 2 f(2) f(4) (i) pS1のとき ← 軸が定義域の中央値より左側 最大値f(2) = (2-か)+3 00o(答) 軸から遠いほうの 端点ェ=2で最大となる 2 4 車軸 3 =が-4p+7 (1) p>1のとき ← 軸が定義域の中央値より右側 最大値f(0) = (0-か+3 =が+3。 軸から遠いほうの 端点ェ=0で最大となる X=Dp ooo(答 f(2) 最大 f(4) 最大 f(2) 23 4 f(4) 2 3 4

（2）はD>0を満たす範囲は考えなくて良いのは何故ですか？

基本例題49 2次方程式の解の存在範囲(1) 20 O○OOO 2次方程式 x2+2(a-3)x+a+3=0 の解が次の条件を満たすような定数a の値の範囲をそれぞれ求めよ。 の (1) 異なる2つっの正の解をもつっ 暴本、 (2)異符号の解をもつ b.70 基本事項4 CHART OSOLUTION 2次方程式の異なる2つの実数解 α, B の符号 α>0 かつ 8>0 → D>0, α+β>0, aB>0] 収とBが異符号 αβ<0 解と係数の関係を用いて, α+B, aBをaを用いて表す。 解答) x°+2(a-3)x+a+3=0 の2つの解を α, βとし, 判別式をD とすると D =(a-3)?-(a+3)=(a-1)(a-6) て学式4 解と係数の関係により (1) a, Bが異なる正の数であるための条件は,次の 0, 2, 3 が同時に成り立つことである。 D>0……O, α+B>0 … のから a<1, 6<a 2から a<3 α+B=-2(a-3), aβ=a+3 2, aB>0 の ③から a>-3 ⑥ ④, ⑤, ⑥ の共通範囲を求めて (2) α, Bが異符号であるための条件は よって,求めるaの範囲は -3<a<1 -3 3 6 a aB<0 *このとき, D>0 は成 a<-3 立っている。 03 (b.704解説参照)