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第6章 順列組合せ
基礎問
夕 (1)
105 重複組合せ
区別のつかない球5個を A, B, C3つの箱に入れる
(1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか.
(2)1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方
|精講
法があるか.
1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません ),どの1万円
札がほしいという人はいません. 何枚ほしいというはずです。だか
ら、区別がつかない球のときは個数で考えます。
A, B, C の箱に,それぞれ個, y個, 2個入るとすると, (1),(2)は,それ
ぞれ,次の方程式の解 (x, y, z)の組の数を求めることと同じになります。
(1)x+y+z=5 (x≧1, y≧1, z≧1)
(2) x+y+z=5 (x>0, y=0, z=0)
解答では,まず拾い上げてみて, あとで計算による解法を考えてみます。
解答
A,B,Cの箱にそれぞれ, x個, y個, 2個入るとする.
(1)x+y+z=5 (x1,y1,z≧1)
x=1,2,3 だから, (x, y, z)の組は次表のようになる.
IC 1 1
1
2 2 3
y
1 2 3 1
2 1 よって, 6通り
90 規則性をもって
22
3 2 1
2
1
1
数え上げる
(2) x+y+z=5 (x≧ 0, y≧0, z≧0)
IC 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 22 22 33 34 45
y 0123450
1
23401230120 10
2 54321 04321 03210 210 100
よって21通り
注 この問題のように, 変数に関して条件が同じ(このことをx,y,2
は対称性があるといいます)であれば、次のように大小を仮定して数
えて,あとで並べ方を考える方がラクです.
