この問題なのですがなぜ場合分けをするのでしょうか？≧なら一通りでも良くないですかね？

の向きが変わるので, t>0, t<0 で場合分けをする要領で解く。 を掛けてtの2次不等式の問題に帰着できる。ただし, tの符号によって不等号 logex=t(tは任意の実数, ただし tキ0) とおくと, tー-21 となり,両辺にt 0100000 244 【上智大) 基本例題 161 対数不等式の解法 (2) 基本160 不等式 logax-6log+221 を解け。 050 3ot CHARTOSOLUTION 対数不等式 おき換え [logax=t] でtの不等式へ OrnTO 真数の条件,底aと1の大小関係に注意 6 -M1 ← 底の変換公式 log2x- log2x 底を2にそろえると t 解答 x>0 かつ xキ1 対数の真数,底の条件から 11 ES *底を2にそろえる。 xキ1 から log2xキ0 また log:2= 1og2x 6 -21 x よって,不等式は log2x- 1og2x *a>1 のとき, x>1 では 『] log2x>0 すなわち x>1 のとき のの両辺に1og2xを掛けて (log2x)-621og2x logax>0 *ピーt-6 (1og2x)?-10og2x-620 (1log2x+2)(1og2x-3)20 よって =(t+2)(t-3) ゆえに log2x+2>0 であるから 1og2x-320 すなわち log2x23 log2x>0 から。 底2は1より大きいから x28 これは x>1 を満たす。 『[2] log2x<0 すなわち 0<x<1 のとき のの両辺に 1og2xを掛けて log2x2log28 *a>1 のとき, (log2x)°-6<log2X 0<x<1 ではlogax<0 (1og2x)?-10og2x-6%0 (1og2x+2)(log2.x-3)<0 log2x-3<0 であるから log2x+220 すなわち log2x>-2 よって ゆえに log2x<0 から。 よって -2<log2x<0 1 - 1og2S1ogax<logil く 底2は1より大きいから Sx<1 これは 0<x<1 を満たす。 [1, [2] から S<1, 85x aC Te0

2枚目の写真の基本25の(1)は自分の解答ですけど、この書き方でもあっていますか？

0.9.D (下のPRACTICE25% ようにえを用いる 9 p- pp 9 3(左辺) 画た学さ なお a= pk, b=gk, c=" 4 9-0 9+0 p9-pp ニ b 74=ューニ と ad+ bd P+ であるから 限 po ニ 9 2 po (右辺) 9 =より, c= 9-0 p とも書き表す。 マー (1)P _p-4P 扱い方は例題の場合と ;b:4=3:9:0 0 P- 別解 条件式 三 9+D 比例式は ニ ゆえに p-3 ニ b ab4 来却6+ c=dk 4 9 に,比の値が等しいこ 9-0 c+d_dk+d_d(k+1) k+1 6(k-1)R-I k |示す等式を比例式とい D inf. 9+D bk+b_b(k+1)_k+1 こよって p a=bk, の (1) =ー=k とおくと 解答 し,同じ式を導く。 kが増えるが, a, cを減らすことができる。(2) も同様。 ッ 比例式は =Dk とおく……… o (1)-==k とおくと a=bた, c=dk と表される。これを左辺 右辺に 放善 88:4 は 2 CHART OSOLUTION ztx_x+y 9-0 0-3 を証明せよ。 例題 26 比例 b-c x ニ のとき、等式 ax+by+cz=0 が成り立。。 p-o 9-0 p 9 P+o 9+0 ニ D のとき,等式 基本 例題 25 条件が比例式の等式の証明 42

(2)などの問題で、≧で場合分けしてしまうと、X=2も含むので、不等式は成り立たなくなってしまいませんか？

(1) | |2(正の数) の形に変形できるので, 2 簡便法 の利用が早い。 基本例題34 絶対値を含く 次の不等式を解け。 (1) |2.x+1|-120 c>0 のときc<e ならば -c<x<c (2) 右辺に変数が含まれているので, 国 場合分け により絶対値記号をはずす。 a<0 のとき \al=-a ののさは 100gである。 9(2) |2x-4|<x+1 ところ、 今国はのの方 CHARTOSOLUTION 絶対値を含む不等式 場合分け a20 のとき Ial=a, 2 簡便法 絶対値記号をはずす。ITUIO |x||>c ならば x<-c, c<x 2x-4=0 から x=2 が場合の分かれ目。 解答 |X21 ならば 2x+1S-1, 1<2x+1 2xミ-2, 0S2x xミ-1, 0Sx (1) |2.x+1|21から 楽のセ役合 X<-1, 1sx やともに両辺を2で割石 よって ゆえに (2) 2x-420 すなわち x>2 のとき丁 く 12x-43D2*-4 2.x-4<x+1 245 これを解いて これと x22 の共通範囲は x<5 *共通範囲を求める。 x 2<x<5 1 2x-4<0 すなわち x<2 のとき ー(2x-4)<x+1 S - ま 12x-4|=- (2x- 269 21 すなわち -2x+4<x+1 これを解いて これと x<2 の共通範囲は 245 24 2691 241 2 x>1 x 共通範囲を求め 1<x<2 2 不等式の解は①と②を合わせた の +x)+ 範囲であるから さち I>x 1<xく5 合わせた範囲を 12 5 x )5 2

写真の英文を和訳していただきたいです。

The world is facing a )- crisis of plastic waste, which is growing daily. The situation in Indonesia is serious, but the country has devised an innovative solution. After China, Indonesia is the world's largest producer of plastic waste that ends up in the sea. Estimates put the combined length of the plastic straws z_dis Caredi daily in the country at 5,000 kilometres. One company has come up with a new idea to Ye duce the use of plastic bags. Instead of plastic, it uses cassava, a root that grows abundantly in the country. It has two main biodegradable and breaks down quickly. advantages. First, it is Second, it is not poisonous and will not harm animals. Unfortunately, cassava bags are twice the price of plastic bags, but if the market for them increases, their price will come down.

どうして同じ文字で置いていいんですか？

426 基本例題 122 1次不定方程式。 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 3x-7y=1 (2) 22x+37y=2 ID.423 基本事項2,基本 121 基本124 OTTO の CHARTOSOLUTION 1次不定方程式 ax+by=c の整数解 1組の解(b, q)を見つけて a(x-b)+6(y-q)=0 .。 (1)係数が小さいから, 1組の解が見つけやすい。 (2) 係数が大きいから, 1組の解が見つけにくい。そこで, 基本例題121のよえ ① ax+by=1 の整数解 x=か, ソ=q を互除法を用いて求める。 の ap+bq=1 から, 両辺にcを掛けて の手順で進める。最後の式と ax+by=c から a(x-cp)+b(yー ca)=0 a(cp)+6(cq)=Dc 解答) 3x-7y=1 …D x=5, y=2 は, ①の整数解の1つである。 2 よって 3·5-7-2=1 るす る る - る 3(x-5)-7(yー2)=0 1-el- 3(x-5)=7(y-2) … ③- の-2 から すなわち 3と7は互いに素であるから, ③より x-5=7k, yー2=3k (kは整数) の断りは重要。 x-5が7の倍数とな から x-5=7k したがって,①のすべての整数解は x=7k+5, y=3k+2 (kは整数)-) -8=8- 7?r+371=2 ①-e0+-11- (-) 3に代入すると 3-7k=7(y-2)

集合と命題です。 なぜ≦になるのでしょうか。

基本38 (2) ACCとなるんの値の範囲を求めよ。 p.62 基本事項 CHARTO 不等式で表された集合の問題 集合の要素が不等式で表されているときは, 集合の関係を数直線を利用して表 すとわかりやすい。 その際,端の点を含む(<, 2) ときは● SOLUTION 2章 数直線を利用 こわかりやすい。 g 1, Bの残りの要素を 2 5 含まない(<, >)ときは○ で表しておくと, 等号の有無がわかりやすくなる(カ.50 参照)。 例えば,P={x|2<x<5} は右の図のように表す。 どの部分かを調べて, 解答 ーB B- (1) 右の図から (ア) ANB={x|-2<x<5} (イ) AUB={x|-3Mx<6} (ウ) B={x|x<-3, 5Sx} () AUB={x|xx<-3, -2<x} (2) ACCとなるための条件は ·A *補集合を考えるとき 端の点に注意する。 -3 -2 56 x ANB ○の補集合は● の補集合はO 合R=1 のとき k-5ミ-2 C={x|-4SxS6} k=3 のとき C={x|-2<xS8} であり,ともにACC を満たしている k-5 -2 6 k+5 69k+5 が同時に成り立つことである。 0から B k<3 2から 1Sk B 共通範囲を求めて 1SkS3 集合動

右上の図縦で見ると被ってるところがあると思うんですけどいいんですか？あんまりこれ理解できないです……

1から 30 までの自然数の積 30!=30·29 2·1をNとする。 Nを素因数 例題105 n!に含まれる素因数の個数 0O00OO 30 までの自然数の積 30!=30-29 2·1をNとする。 Nを素因数 分解したとき,次の問いに答えよ。 (2) 素因数5の個数を求めよ。 Nを計算すると,末尾には0は連続して何個並ぶか。 ID.388 基本事項3 のお CHART © 2!=n·(n-1) 3·2·1 の素因数kの個数 1からnまでのkの倍数, k°の倍数。 1からnまでの自然数の積 1·2-3… (n-1). n をnの階乗といい, n!で表す (b.254参照)。 (1) 30以下の自然数のうち, 2の倍数, 2° の倍数, 2° の倍数, の個数の合計が, 30!に含まれる素因数2の個数になる。 なお, n 以下の自然数のうち, a の倍数の個 数は, nをaで割った商として求められる。 (3) 素因数2と5を掛けると,末尾に0が1個現れる。 SOLUTION の個数の合計 2468 16… 28 30 2 22 2° 2*

矢印で示した方程式 t^2-√2t+1 は、どこから出てきたのでしょうか？解説お願いします！

CHARTOSOLUTION E 複素数の実数条件 えとるの和と積の値からzとzを解にもつ2次方程式を作る。 αが実数 → α=α … 1 A 解答 |a|=1 から また, ーぇは実数であるから |zP=1 ゆえに 22=1 2z%=\2} *aが実数= ーz=2ー2 ここで,ー2=ー23(z)°-zから -D=g-D 『=a) (2)-ス=- ー(2)-(2-2)=0 (左辺)=(z-2){z?+zz+(z)}-(2ー2) =(z-z){z?+1+(z)-1} =(z-z){z?+(z)} (z-2)(z?+(z)}=0 または ?+(z)30 したがって =(a-bld-。 22=1 よって ゆえに ス=ス [1] =z のとき えは実数である。 よって,|a=1 から [2] +(z)=0 のとき (z+2)-2zz=0 (2+z)=2 る=±1 22=1 ゆえに よって る+z=±/2 ス+z=V2 のとき, zz=1 から, 2数z, z は2次方程式 V2土、2i t= 合解の公式を得 > ピー12t+1=0 の解である。 よって 2 2+2=-/2 のときも同様にして2数z, zは2次方程式 ー2土/21 2 +12t+1=0 の解である。 よって 12土/21 -/2土 2i 2 [1], [2] から 2=±1, 2

D＞0は要らないんですか？

以万程式の解の存在範囲 (3) …解が 2数の間 F(0)>0 かつ f(1) <0 かつ f(2)>0 … 「るとき, 0<α<1<β<2 を満たすように, 定数 aの値の範囲を定めよ。 |2次方程式 x?-2(a-1)x+(a-2)?30 の異なる2つの実数解を α, Bとす グラフをイメージ… f(0), f(1), f(2) の符号に着目 (x)=x°-2(a-1)x+(a-2)? とすると, y=f(x)のグラ 本例題 149 【類立教大] 「基本94,95 CHART O 2次方程式の解が2数の間 ラフをイメージ f (0), f(1), f(2) の符号に着目 SOLUTION フは下に凸の放物線で右の図のようになり、 を満たすようなaの値の範囲を求めればよい。 3章 B2 x 11 {x)=x°-2(a-1)x+(a-2)? とする。 =(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, Ka<1<B<2 となる条件は f(0)>0 かつ F(1) <0 かつ f (2)>0 である。 グラフをイメージする。 代 3つの条件がすべて必要。 例えば,f(0)>0 でなく, f(0)<0 とすると, ソ=f(x) のグラフは, f(0)=(a-2)? f(1)=1-2(a-1)+(a-2)?=α°-6a+7 f(2)=4-4(a-1)+(a-2)?=α°-8a+12 =(a-2)(a-6) ここで 下の図のようになり適 さない。 0 2 x | (a-2)?>0 a-6a+7<0 2 合ペ-6a+7=0 の解は であるから 1-| a=3±(2 0から 2以外のすべての実数 0から 3-、/2<a<3+/2 0から a<2, 6<a 9, 6, 6の共通範囲を求めて 3-/2<a<2 ISK a 3-2 2 3+/2 6 2次不等式一

どっちもＹ=にして、方程式を作るのは出来ないんですか？

x=α が解 → &=e を代入して方程式が成り立つ 2つの2次方程式 2x?+kx+4=0, x?+x+k=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように, 定数kの値を定め,その共通解を求めよ。 合 0 O0 SOLUTION |基本75 CHART 方程式の解 2つの方程式の共通解を 202+ka+4=0, α^+α+k=0 が成り立つ。 これを α. kについての連立方程式 とみて解く。実数解という条件に注意。 x=α とすると, それぞれの式に x=αを代入した 解答 共通解を x=α とすると 2a°+ka+4=0 0-②×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち よって のえに ] k=2 のとき 2つの方程式は,ともに x+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると 3章 Q+a+k=0 x=α を代入した① と 2の連立方程式を解く。 *の項を消す。 (R-2)α-2(k-2)=0 (R-2)(α-2)=0 k=2 または α=2 0-(ト-)(E+x) *共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら,逆を調べ十分条件で あることを確かめる。 D=1°-4-1-2=-7 =ax+bx+c=0 の判別 式は D=b°-4ac D<0 であり, 実数解をもたないから, k=2 は適さない。 2] α=2 のとき のから このとき2つの方程式は 日2x°-6x+4=0 となり,O'の解は x=1, 2 よって,確かにただ1つの共通解 x=D2 をもつ。 1, [2] から 22+2+k=0 ゆえに k=-6 2 2の解はx=2, -3 x2+x-6=0. * 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 k=-6, 共通解は x=2 INFORMATION この例題の場合, 連立方程式①, ② を解くために,次数を下げる方針で α の項を消 去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。 トのPRACTICE 79 の場合は, 定数項を消去する方針の方が有効である。 世通留をとま