質問です！「方程式①が虚数1-3i を解に持つならばその共役複素数1+3i も① の解となる」となる理由を教えてください。

a, bは実数とする。 2の3次方程式2+ ax? + ba-10=0の1つの解が1-3i のとき, a, bの値と他 の解を求めよ。

a、bを実数とする。 xの方程式　x^3+ax^2+bx+2a-2 の一つの解が 1+2iである時、a、bおよび他の二つの解を求めよ。 という問題です！！ 回答と解説お願いします！！

高校　基礎数学Iの問題です。 写真の赤印が付いている4問が一度解いてみたのですが間違っていました。自分ではどのように解けば良いのかよくわかりません。分かる方、4問全てではなくても構いませんのでアドバイス頂けると嬉しいです。

(10) (2+ 7i)(1 - 34) - 6(4- 52) 5+6 (is) 36 -1+ 26 1+i (15) 2+¢ 3+i 1-3 2+3 7+ (16) |-8+ V5| +V5-1 (17) V(-7-2V2)2 +2\V2-71 (de) a-va-13

複素数の問題で(3)が答えをそのまんま写したものですが、なんでこれをやり、どうやって答えを導いているのかを教えてください

16J 12 +3=2 (z + z)を満たす複素数z全体の集合をAとする。ただしょはる の共役複素数である。 (1) 集合 Aを複素数平面上に図示せよ。 2 A の要素2の偏角を0とする。ただし - πく0Sxとする。ZがAを動くと き、0のとりうる値の範囲を求めよ。 3) 2 が正の実数となるAの要素2の個数を求めよ。 +3-2(2き) 便報となる条作は。 13) g か正 ママ -322+ 2 ay 6of t 27, 整表信 となるのう ママ-28 - 22 +3:0 をミー2)~ -2)11 2ー)1マー) 0 2-21 1 (21F1. -oT 604 < (o7 だ"a.. 600 ミ 2Th *(いースーチーs) Th. 30 #7: 4に対応する この個認は、(り,国より。 ニ |z-2| 永複素 Zは、中じ2 才松上の円なの? よっ? 今. 1. ニ -番くくずう2 K上ドり 黄める その 個数は、20 0 ○M6(68S-S7) ~ に

なんで赤丸が言えるのですか？ あと、考え方に書いてあるものをどうして利用しようと思うのですか？全然わからないのでこの問題解説していただきたいです🙇‍♀️

212 夫戦の止 よって,複素数zとその共役複素数zについて、次のことが成り立つ。 て,動径 る+zは実数である 2 a%=laP r=\c 1 である。 い 10 よっ ☆ 例題 複素数αについて, 次のことを証明せよ。 2 lel=1 のとき, α+ は実数である。 Q 考え方> 上の2と7ページの 「zが実数 →z=2」 を利用する。 10 証明 la|=1 のとき, jar--1 であるから 0を QQ =1 すなわち Q= 15 ここで Q+ = Q+ a 1. +α 1 1 1 よって, α+-=a+- であるから, α+ーは実数である。 超 終 (補足〉上の1を利用して, 次のように証明することもできる。 15 20 lal=1 のとき α= Q であるから α+ト=α+@

上の問題をこのように解きました。 答えが違ったのですが、これは、やり方が違ったのでしょうか？ 原因を教えてください

IECK3 |3次方程式 r'+ px* + qx + 5=0の1つの解が2-iのとき,実数 p, +yi (x, y:実数)を解にもつならば, その共役複素数x,-yiも解にもつ。 ヒント!) 一般に, 実数係数の3次方程式ax'+bx?+cx+d=0が虚数解x」 難易度 ☆ CHECK1 CHECK2 CHECK3 絶対暗記問題 18 (東京電機大 * ) の値を求めよ。 講義 2 となる。 0, これも大事だから覚えておこう。 解答&解説 D.4が実数より,実数係数の3次方程式:1r°+px°+qx+5= 0が d 講義 a 2-1を解にもつならば, この共役複素数 (2+i)も解である。この他のも う1つの解をyとおくと, 解と係数の関係より =-1 3次方程式の解と係数の …(答) p 1 関係の公式: b (27)+(2ナ1)+y=FP a+B+y= a 9 C aB+By+ya = a 講等 1 (2-i)(2+i)+(21)y+y(27) = d aBy= a を使った! (2-)(2+i)y=(=5) 3 ③より,(4-)y= 15, 5y=-5 …Y= -1 -1 0より,4+[y ーP 1 *p=-3 講 のより, 4-)+4y=q, A+1-4=9 以上より,p=-3, g=1 9=1 .(答) 答) 頻出問題にトライ·4 難易度 CHECK 1 CHECK2 CHECK3 次万程式r+ax+b=0(ただしbキ 0) の1つの解をaとおくと、 他の2つの解は a?, α'になる。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) a, bおよびaの値を求めよ。 12) nを正の整数とするとき, α"" を求めよ。 解答は P237 43 山角関数 指数関数と対数関数 微分法と積分法 刀程式·式と証明 図形と方程式 5-1|

赤線部が分かりません。 なぜf(x)の極限が±∞となるとき、f(z)=0 は実数解をもつのでしょうか？

1) aを実数とする、 3次方程式 ポー2(a-1)ポー(a-1)x+8=0 は虚数 が方程式 f(z)=0 の解ならば、 αと共役な複素数aも解であることを示 2) S(2)=D2°+bz?+cz+d=0 を実数係数の3次多項式とする。 複素数a の解が複素数平面上で正三角形となるようにaの値を定めよ。 複素数平面 4 複素数平面と共役複素数 211 91 (中部大) せ、 (広島大) (1) 実数解は目の子で探します. そ のためにはaまたはa-1でまとめ 精講 解法のプロセス てみるのがよいでしょう. 残りの2解は実数係数 の2次方程式の解となるので, この方程式は虚数 解をもつことが必要です。 (2) (1)を真似ることにして, f(z)=0 が実数解 をもつことを示すのが1つの方法です。 実数の範 囲でz→ ±0 とすれば簡単に示せます。 もう1 つは,自分で思いつくのは難しいかもしれません が,共役複素数の性質を活用する方法があります。 (1)を真似る 共役複素数の 性質を使う 実数解をもつ ことを示す 解答 0)方程式の左辺を a-1についてまとめると +8-2(a-1)z(r+2)=0 ;(ェ+2)(r°-2ax+4)=0 よって, 実数解は r=-2 である。. 題意が成り立 つためには, 2次方程式 -2a.r+4=0 ……の 虚数解をもつことが必要だから, 判別式を考え て a-4<0 . -2<a<2 このとき,①の虚数解は エ=a土(4-α'i

虚数解は偶数個しか持たないと思っていたので納得いきません。

の 大0木 (35点) aを実数の定数とする. zの方程式 2°+z+ a(z -)3 0 -snt-オいす ー25ルでー大ん7 が異なる3つの解をもち, それらが複素数平面上で一直線上にあるようなaの値の 範囲を求めよ. ただし, iは虚数単位である。 問題は,このページで終わりである。 - 理2- Re 一理/数 11-

この問題の(3)で、なぜz=x+yiと置くのでしょうか。 z1とz2が直線上の点なので、与式に代入すれば‪α‬とβの関係式を作れて、連立するだけかなと思ったのですが、考え方を教えて欲しいです。

複素平面上で、次の問に答えよ。 (4) 原点0から上の直線に下した垂線の足はz」る2となることを示せ、 (3) &を動点とするとき,(2)における 2点る,る2 を通る直線の方選まは の形に表される。ただしぇはzの共役複素数である。このとき a,Bを を中心として正の向きに Oe 23ーる」 --k (k lは実数) ア 22ーる」 (1) 3点 みが一直線上にあると あることを示せ、 2 (2) 点=ー(2+V3+i) を,点zo= だけ 6 4 回転して得られる点22。を求めよ。 Pかにおける&息えしえ念真る良奥の方規ま。 w 1 az+ Bz= 2 (3+V3) Ont mie 0 o 定めよ。 (旭川医科大·医) すなわ On re Gtonootman

残りの解を求めるところがわかりません。 解説お願いします。

2章 高次方程式 a, bを実数とする. 3次方程式 x+ax°-5x+b=0 の1つの 解が 2+/3i であるとき,a, bの値を求めよ. また,残りの解 を求めよ。 Check! 例題 3次方程式と虚数解 共 65 (日本大) え方(i) α=2+V3iを3次方程式に代入して,A+Bi=0 (A, Bは実数)の式を導 き,A=0, B=0 から, a, bの値を求める。 (i) 与えられた方程式の係数が実数であるので, p.107 の質問箱より, α=2+V3iが解ならば,その共役複素数 α=2-V3iも解である。 5 ip 答)-12+V3iが方程式 x°+ax'-5x+b=0 の解だから, (2+/3)+a(2+/3i)-5(2+V3i)+6=0 (8+12/3i-18-3/3i)+a(4+4/3i-3) -5(2+/3i)+6 おくと =0 左辺をiについて整理すると, (a+b-20)+4/3 (a+1)i=0 a, bは実数より, a+b-20, 4V3 (a+1)も実数だか|→A=0, B=0 ら, [a+b-20=0 14/3(a+1)=0 これを解いて, このとき,もとの方程式は, x°ーx-5x+2130 (x+3)(x?-4x+7)=0 0-(d+pS)p したがって, これより, よって, A+Bi=0 Dとすると 考えている a=-1, b=21 ste x+3=0 または x°-4x+7==0 x=-3, 2土V3i a=-1, b=21, 残りの解は,-3, 2-/3i 因数定理 P(x) =xーx-5x+21 について, P(-3)=0 -3|1-1-5 21 -3 12-21 1-4 7 0 答-2 P(x)=x+ax-5x+b 0 とおく. り」/の: D