2章 高次方程式
a, bを実数とする. 3次方程式 x+ax°-5x+b=0 の1つの
解が 2+/3i であるとき,a, bの値を求めよ. また,残りの解
を求めよ。
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例題
3次方程式と虚数解 共
65
(日本大)
え方(i) α=2+V3iを3次方程式に代入して,A+Bi=0 (A, Bは実数)の式を導
き,A=0, B=0 から, a, bの値を求める。
(i) 与えられた方程式の係数が実数であるので, p.107 の質問箱より,
α=2+V3iが解ならば,その共役複素数 α=2-V3iも解である。
5 ip
答)-12+V3iが方程式 x°+ax'-5x+b=0 の解だから,
(2+/3)+a(2+/3i)-5(2+V3i)+6=0
(8+12/3i-18-3/3i)+a(4+4/3i-3)
-5(2+/3i)+6
おくと
=0
左辺をiについて整理すると,
(a+b-20)+4/3 (a+1)i=0
a, bは実数より, a+b-20, 4V3 (a+1)も実数だか|→A=0, B=0
ら,
[a+b-20=0
14/3(a+1)=0
これを解いて,
このとき,もとの方程式は,
x°ーx-5x+2130
(x+3)(x?-4x+7)=0 0-(d+pS)p
したがって,
これより,
よって,
A+Bi=0
Dとすると
考えている
a=-1, b=21
ste
x+3=0 または x°-4x+7==0
x=-3, 2土V3i
a=-1, b=21,
残りの解は,-3, 2-/3i
因数定理
P(x)
=xーx-5x+21
について,
P(-3)=0
-3|1-1-5 21
-3 12-21
1-4
7
0
答-2 P(x)=x+ax-5x+b 0 とおく.
り」/の: D
解説で一度aとbが求まってから、
もとの方程式にして求めるのは、なぜ必要なのですか？