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そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ,その解を求める方針で解いてみよう。
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3 で割ると2余り、5で割ると3余り,7で割ると4余るような自然数
ものを求めよ。
基本 例題129 1次不定方程式の応用問題7270 1/sx'Y89®。
最本121.12%
3で割ると2余る自然数は2,5,8.11,14, 17, 20, 23,
5 で割ると3余る自然数は 3,8,13, 18, 23,
4
が共通の。
8が最小である。
指針>
と5の最小公倍数 15すつ大きくな。
また、7で割ると4余る自然数は B 4.11, 18, 25,32, 39, 46,53.
の, Bから、求める最小の自然数は 53 であることがわかる。
の 8,23, 38,53. 68,
い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。
解答
2はx, y, zを整数として,次のように表される。
2=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
3x-5y=1
注意 3x+2==5y+3
かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、
数が小さい方が処理しゃ
の
3x+2=5y+3から
x=2, y=1 は,① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(yー1)=0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)
3と5は互いに素であるから,kを整数として,x-2=5k と表
される。よって
い。
4このとき y=3k+1
x=5k+2(k は整数)
の
43x-7z=2から
のを3x+2=7z+4に代入して
3(5k+2)+2=7z+4
7z-15k=4……③フー7 kコ3
3(x-3)-7(z-1)=0
ゆえに,1を整数とし
ゆえに
2=-8, k=-4は,③の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7と 15は互いに素であるから,しを整数として,z+8=15/ と
表される。よって
これをn=7z+4に代入して n=7(15/-8)+4=105/-52
最小となる自然数nは,1=1 を代入して
x=71+3
これとx=5k+2を
て 5k+2=71+3
よって 5k-7=1
ス=15/-8(1は整数)、
これより,k, Iが連
るが,方程式を解く
1つ増える。
53
検討百五減算
ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの余りをa, b, c とし, n=70a+216+1
る。このnの値から105を繰り返し引き, 105 より小さい数が得られたら,その数がそ
齢である。これは3,5, 7 で割った余りからもとの数を求める和算の1つで,百五減算
る。なお、この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。
求める数をxとすると、 x=a(mod3), x=b(mod 5), x=c(mod 7)であり、
n=70a=1·a=α=x (mod3), n=216=1·6=b=x(mod5), n=15c=1·c=c=x
よって、カーズは3でも5でも7でも記n加n
