Question

めい

証明問題です
解き方(考え方)というかヒントを教えていただけないでしょうか？
どちらかの問題でもかまいません🙏

次の各問に答えよ。
(1) を3で割ったときの余りが2になるような整数nは存在しないことを示せ。
(2) ぴを300 で割ったときの余りが200 になるような整数nは存在しないことを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まい

(2)は背理法です

例を示してあります
↓

めい

回答ありがとうございます🙏
理解できました☺

Answer 2

Yuki

(1)は背理法を使うと良いと思います。
n²を3で割ったときの余りが2になるような整数nが存在すると仮定し、矛盾することを証明していくやり方です。

全ての自然数nを自然数mを用いてn=3m-2、3m-1、3m と表します。
(3m+2、3m+1でも良い お好きな方で)

これをそれぞれ2乗し、n²=3( )+〇
の形に変形していきます。
〇の部分が3で割った時の余りになるので、ここが2にならない事を示せば証明完了です。

Yuki

(1)補足
最初にn²=3m+2と表し、
n=3m-1、3m-2、3mのところをm以外の文字で置くと、(2)が解きやすくなります。

(2)は(1)を100倍しているだけなので、ほぼ同じです。
n²=300m+200(mは自然数)と置き、
n²=100(3m+2)と変形出来るので、後は(1)の証明をそのまま書いていけば良いと思います。

めい

ありがとうございます
参考にさせていただきます

Answer 3

キャンパスノート愛好者

(1) 合同式を使うと楽です。nを3で割った余りの候補は限られているので、nを3で割った余りで場合分けをし、
n²を3で割った余りがどうなるかを調べてみましょう。

(2) (1)が大きなヒントであることに気づけると楽です。

めい

ありがとうございます
参考にさせていただきます