(2)のα<2<βまたはβ<2<α⇔(α-2)(β-2)<0 の理由を教えてください

xについての2次方程式 x°-(a-1)x+a+6=0 が次のような解る うな実数aの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2) 1つの解は2より大きく, 他の解は2より小さい。 し MOITD.71 基本 CHART SOLUTION 実数解 α, Bと実数 kの大小 α-k, B-k の符号から考える (1) 2以上とは2を含むから, 等号が入る ことに注意する。 a22, B22 → (α-2)+(8-2)20, (α-2)(B-2)20 (2) α<2<B または β<2<a←→ (α-2)(8-2) <0

丸で囲んであるところで、 asinθ＋bcosθの形ではなく、 xθ と θが何倍かされてても、合成ができる理由を教えてください

基本例題|37 2次同次式の最大·最小 f(0)=sin°0+sin0cos0+2 cos°0 (0<0s)の最大値と最小値を求めよ。 HF 基本 135 SOLUTION CHART sin と cos の2次式 角を20に直して合成 sin°0=1-cos 20 2 sin20 1+cos20 sin0cos0= 2 cos'0= 2 L半角の公式 L2倍角の公式 L半角の公式 称式で これらの公式を用いると, sin6, cos0 の2次の同次式(どの項も次数が同じで ある式)は 20の三角関数で表される。 更に,三角関数の合成を使って, y=psin(20+α)+q の形に変形し, sin(20+a)のとりうる値の範囲を求める。 解答 合 sin0, cosθの2次の同 次式。 isin20, cos20で表す。 f(0)=sin°0+sin0cos0+2cos'0 4章 1-cos20 2 sin20 1+cos20 Sin 6nte=08 2 17 ヨ=1, =sin24 3 (sin20+cos20)+ 2 合同周期の sin20と cos 20 の和一→合成 Y4 T80-39 2 1 π 3 V2 sin 2 三 4 2 T 4 0 1 x 0S0< であるから 一成 エ-20+ 5 ーπ π π Ssin(20+I)s1 4 を掛けて 2 |0 1x *各辺に 2 1sf(0)s3+/2 から、 p.2 2 1 -sin(20+ 2 1 2 ゆえに -1 12 変形される。 2 したがって,f(0) は 3+/2 2 この各辺に号を加える。 20+= で最大値 T_π すなわち 0= 2 2 4 5 20+エ=x すなわち 0=5 で最小値 1をとる。 4 4 nCs T38 PRACTICE … 137® 関数 f(6)=8/3 cos'0+6sin0cos0+2/3 sin'0 (0<0ハx)の最大値と最小値を求 【類釧路公立大) 加法定理 VI -ーン 54|

(3)教えてください！

おき換え [loga(r°+/2)=t] でtの方程式へ 変域に注意 PRACTICE… 167® xに関する方程式 log2x-loga(2x+a)=1 が,相異なる2つ 重要例題 844について, ただし,logi 250 次の問いに答えよ。ただし, aは定数とする。 (1) loga(x°+/2)のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) のが実数解をもつとき, aの値の範囲を求めよ。TUIO! CHARTOS 自然数 N 基本19 ーの位に 最高位に (ア) 8" の- (イ) N”の CHARTOSOLUTION 対数方程式の解の問題 各辺の (2) loge(x+/2)=Dt とおくと, ①から -ピ+2t=a gol この2次方程式が(1)の範囲内で解をもつ条件を考える一→グラフを利用 (3) x=0 となるtの値に対して, xの値は1個(x=0) x*>0 となるtの値に対して, x の値は2個 あることに注意。 したが 解答 (ア) 8', 8°, 8°, 8, 解答 loga(x°+/2)2log2/2 3>はさ 0 ートー (2) loga(x+/2)3Dt とおくと, ①から ピ+2t=a_X-| (1) x+/22/2 であるから * 1oga/2 =; よって,4つ 44=4×11 で よって log.(x°+/2)2。 合等号は x=0 のとき威立 (イ) logio84=4 159 ここで =3 Tog 401- (スー)スー また,(1)の結果から 曲線 y=ーP+2t (tとう) SElog1o5=ー 11 2 X -ピ+2t と直線 y=a …… ③の共有点が存在 するための条件から,aの値の範囲は 4 3 全=1(t-1)+1 logio6= / 1 から log 0 1 1 2 as1 (3) (2)のtについて, x°+ 2=2* を 満たすxの個数は 2 t よって ゆえに すなわち ち30 E=X t>;のときx*>0であるから2個 t=ー のとき x=0 の1個, さ Y 0=X したがって、 よって,②, ®のグラフの共有点から、①の解の個数はね a=のと 天盛守かれる aく a=1 のとき2個;a= 3 くa<1 のとき 4個 3 - のとき 3個; Caso) PRACTICE … から1個,>;かり log1o2=0. (1) 18'8 に (2) 0.15° 2個の合計3個。 実数解をもつための実数aの値の範囲を求めよ。 = S (龍谷大

n≧2 をつける時とつけない時の違いってなんですか？

本例題105 an+i=pan+(n の1次式)型の漸化式 次の条件によって定められる数列 {an}の一般項を求めよ。 OOO00 a=3, an+1=2anーn |基本 103, 104 HART O Sor 漸化式 an+1= pan+(nの1次式)(カキ1) 階差数列の利用 の 2 an+1-f(n+1)=Dp{an-f(n)} と変形 2の変形については右ページのズーム UPを参照。 下の解答は回の方針による解法で,別解は2の方針による解法である。 lOLUTION (解答 an+2=2an+1-(n+1), an+1=2anーn 辺々引いて ! bn=an+1-an とおくと an+2-Qn+1=2(an+1-an)-1 bn+1=26n-1 b=a2-a=(2-3-1)-3=2 bn+1-1=2(bn-1) の また のから -a=2α-1 を解くと 更に bi-1=1 α=1 ゆえに,数列(bn-1} は初項1,公比2の等比数列となり bn-1=1·2"-1 inf. bn=2"-1+1 を求め た後は すなわち bn=2"-1+1 よって, n22 のとき 「an+1=2a,-n lan+i-@n=2"-!+1 からan+1 を消去して 2"-1-1+(n-1) n-1 an=a+2(2*-1+1)=3+ k=1 2-1 =27-1+n+1 an=2"-1+n+1 と求めてもよい。 *n=1 とすると a=3 であるから,この式は =1 のときにも成り立つ。 したがって an=2"-1+n+1 別解 an+1=2an-n を変形すると 1 an+1-(n+2)=2{an-(n+1)} a-(1+1)=3-2=1 ゆえに, 数列 (anー (n+1)}は, 初項1,公比2の等比数列と an-(n+1)=1·2"-1 *この変形についてはあ ページのズーム UPt 参照。 また なり したがって aカ=2"-1+n+1 0

なぜf(x)ではなくf(p)に変えてるんですか? xのままで考えると減点になるんですか?

2つの放物線 y=x° と y=-(x-a)?+2 がある1点で接するとき, 定数 2曲線 y=f(x), y=g(x) が x=Dp の点で接する条件 176 2曲線が接する条件 263 要例題 基本174 重 aの値を求めよ。 【類慶応大) 「基本 174 177 CHARTOSOLUTION この点 「2曲線が接する」とは, 1点を共有し, かつ共有点に おける接線が一致すること(この共有点を2曲線の接点 という)。接点のx座標をかとおいて 接点を共有する 接線の傾きが一致する → f'(p)=g'(b) → f(b)=g(b) x を満たす a, pの値を求めればよい。 (x)=x°, g(x)=ー(x-a)°+2 とすると f(x)=2x, g'(x)=-2x+2a 2曲線が1点で接するとき,その接点のx座標をかとすると f(b)=g(p) かつ f(b)=g'(カ) f g(x)=-(x-a) +2 =ーx°+2axーα'+2 *f(b)=g(p) が成り立つ。 …接点のy座標が一致 f(b)=g'(b) 接線の傾きが一致 を意味する。 よって が=ー(p-a)+2 2p=-2p+2a 2) のから a=2p これをOに代入して が=ー(カ-2p)+2 これを解いてカ=±1 が=ーが+2 から う が=1 で ゆえに が=1 ③から, aの値は カ=-1 のときa=-2, p=1 のとき a=2 inf. 接点の座標は 1ソーf(x) 1-a=-2 のとき (-1, 1) a=2 のとき (1, 1) n 用呼の 接線の方程式は a=-2 のとき +- -y=-2x-1 え a=2 のとき a=-2 a=2 yーf(x) -1\0 1 ソ=g(x) y=g(x) y=2x-1

答えは有理化しないとバツですか？それともマルですか？

これらの相互関係は鋭角の場合と同じ。 よって, 解答の方針は基本例題 105 (b.163)と同じ。 sin@が与えられたときは, 公式を②→①の順に用いる。 そのとき, cos0と tan0の値を求めよ。 「p.168 基本事項最本 172 本例題 110 三角比相互の値 (0°<0<180°) 0°S0S180° とする。 sin0= 000 CHART OSOLUTION 三角比の相互関係 sin0 ③ 1+tan'0=/1 cos' ② sin'0+cos°0=1 ① tan0= COs 0 1 を満たす9は2つあり, ただし,0°<0<180° のとき sin0= 3 cos 0<0, tan 0<0 0が鈍角のとき であることに注意。 解答 から,0°<0<90° または 90°<0<180° である。 3 YA sin0= 1 sin'0+cos°0=1 から 3 12 8 cos'0=1-sin'0=1- 9 0 1x *0が鋭角のとき sin0>0, cos0>, [1] 0°<0<90°のとき, cos0>0であるから 8_2/2 COs 0= V9 tan 0>0 3 V2 2,2 sin0 1 2/2 1 また tan 0= ニ COs 0 3 3 4 [2] 90°<0<180°のとき, cos0<0であるから 8. 0が鈍角のとき sin0>0, cosé 2,2 COs 0= tan0<0 9 3 4 sin0 tan 0= COs 0 2/2 V2 1 11 また 3 3 2/2 [1], [2] から (cos 0, tan 0)=( 3 (2,2 /2 2/2 2 4 3 4 PRACTICE … 110。

この2つの公式の使い分け方を教えてください💦

の C CHART OSOLUTION 談 o 等差数列の和 初項 a,公差 d, 第n項(末項)1の等差数列の初項から第n項までの和を ト Snとすると 1 [] S,=Dn(a+) 1 [2] S,=n{2a+(n-1)d} …·· 2 2

ペンで書いているのが答えです。意味がわかりません。 解説お願いします。 b)のapproximateは“おおよそ”という意味です。

4. a) Which linear system is modelled by this graph? Explain how you know. 6 - 4 12rctys1l X 34505) b) What is the solution of the linear system? Is it exact or approximate? How do you know? ach 5. To solve the linear Systern below by graphing,

線が引いてある部分がわかりません。 どうやって上の式から線が引いてある部分の式に書き換えるのでしょうか？？

AABC において,辺 BC, CA, ABの長さをそれぞれ4, b,cとする。 補充例題 )141 図形への応用 213 OOOO0 人ABC が半径1の円に内接し,A=; であるとき, a+b+cの最大値を 求めよ。 補充139 CHART OSOLUTION π 条件は ZA=- だけで,辺に関する条件が与えられていない。したがって, a+b+c を角で表し、角に関する最大値の問題に帰着させる。 → AABC は半径1の円に内接しているから,正弦定理が利用できる。 また,A+B+C=π の条件から,扱う角を1つにすることができる。 nie 11 (解答) ZA=A, ZB==B, ZC=C とする。ieS= o 左会の食S [S) +A06-o(1) S1眼本 A+B+C=π と A= から 13C=xー(A+B)==ェー! e ap.合 -Cを消去。よって,以後 元ー (/EC) 3 2。 0<B<今 はBのみを考えればよ また 3 い。 aie B AABC の外接円の半径が1であるか ら,正弦定理により ia 1-31ias b C =2·1 a sin C 辺 正弦定理 sin角 sin A sin B a=2sin A, b=2sinB, c=2sinC a+b+c=2(sin A+sinB+sinC) =2×(外接円の半径) ST-0203 0mie よって ie ゆえに S 5 -4sin +2sin等co (B-号) -15+2/3 cos(8-号) π (2 +sinB+sin 3 和一積の公式を利用 inf」 B= のとき, V3 COSB- 2 3/|C=(=A) となるから, a+b+c が最大となるの は,△ABC が正三角形の うときである。 0<B<xにおいて, cos(B-)は B=のとき最大と COs(B- 3 は B= のとき最大と 3 なり,求める最大値は V3+2/3·1=3/3 0aa+nie-(6八T 本

下から3行目なのですが、 t=1のとき x=0 と書いてあります。 cosは360°の時も1になると思うのですが、それは考えないのですか？

2倍角の公式 sin2x=2sinxcosx, 相互関係 sin'x+cos"x=D1を用いて、 なお,tの変域はxの変域とは異なることに注意。 (p.192 基本例題125参 0Sx<2r のとき, 関数 y=2sinxsin2x-cosx+2 の最大値と最小幅 【宮城教育大) よびそのときのxの値を求めよ。 基本 CHART OSOLUTION 2倍角を含む三角関数 1つの三角関数で表す だけの式で表す。 cos.r=t とおくと, yはtの3次関数となる。 解答 y=2sinx·2sinxcosx-cosx+2=4sin'xcos.x-cos.x+2 =4(1-cos'x)cos x-cos.x+2=-4cos"x+3cosx+2 -1Sts1 cOS.r={ とおくと, 0Sx<2x であるから yを!で表すと,y=-4t°+3t+2 であり ゾ=-12°+3=-3(2t+1)(2t-1) y=0 とすると やおき換えによ うる値の範囲 y4 1 1 t -1 1 2 2 1 t=土 2 y 0 0 -1StS1 におけるy y 3 1 3 1 10 の増減表は右のように なる。 inf. 3倍角の cos 3x=-3c から y=-c よって,yは t=-1, で最大値 3, -1Scos3xS =ー,1で最小値1をとる。 最大値3, 最 0Sx<2x であるから t=-1のとき x=x;t=のとき x=. T 5 3' 3 F COSX= t=ー;のときx=x,元:t=1 のとき x=0 4 COSX= したがって x=,で最大値3。 5 COSオニー 2 =0, て,元で最小値1をとる。 cos.x=1