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重要 例題 104 放物線と円の共有点・接点
(1)この放物線と円が接するとき, 定数α の値
放物線y=x+αと円x+y2=9 について,次のものを求めよ。
00000
(2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲
基本97
指針
放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針
共有点 実数解 接点重解
で考えればよい。
この問題では,x を消去してyの2次方程式(y-a)+y'=9の
実数解,重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも
注意。
1点で
接する
(1) 放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも
つことである。この問題では、 右の図のように, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
2点で接する
したがって
(2)放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす
αの値の範囲を見極める。
よって、 次の [1] ~ [3] を同時に満たすαの値の範囲を求める。
y=x2+αとx2+y2=9 から x2 を消去すると
...... ①
y2+y-a-9=0
また,x2=9-y20から
ここで,x2+y2=9から
-3≦y3
y=-3, 3であるyに対してxはそれぞれ1個 (x=0)
-3 <y<3であるyに対してxは2個 1
定まる。したがって
重解
(1) 放物線と円が接するのは,次のいずれかの場合である。
[1] ①がy=3 または y=-3 を解にもつ
[2] ①が-3<y<3の範囲に重解をもつ
[1] のとき
32+3-a-9=0 から
(-3)'+(-3)-a-9=0から
a=3
a=-3
[2]のとき、前ページの解答 (1) [1] と同様にしてα=-
a=±3.
37
4
y-3<yi<3
165
yi
-31 0 X2 3 x
<xについて重解。
<yについて重解。
① に y=3 を代入。
<① に y=-3 を代入。
37
4
(2) 放物線と円が異なる4個の交点をもつのは,①が-3<y<3 の範囲に異な
る2つの実数解をもつときである。
3
3章
189円と直線
(1) y=x'+α から x2=y-a
解答
これをx+y2=9に代入して
(y-a)+y^=9
xを消去すると,yの2
次方程式が導かれる。
なお,f(y)=y2+y-a-9 とする。
[1] ① の判別式をDとすると
D>0
よって y2+y-a-9=0..... ①
ここで, x+y2=9から
37
x2=9-v2≧0
[1] 放物線と円が2点 [1]
で接する場合
a=-
[2]
ゆえに
=3
-3≦y≦3 ②
よって, 4a+37> 0 から a>-
②
4
a=3
2次方程式 ①は②の
3-
範囲にある重解をもつ。
O
よって、 ① の判別式を
0
-30
3 x
-3037
[2] 軸について -3<- - 12/23 これは常に成り立つ。
[3] f(3)=3-a>0から
f(-3)=-3-a>0から a< - 3 ...... ④
a<3 ...... 3
DとするとD=0
-31
37
②~④の共通範囲を求めて
<a<-3
4
D=12-4.1 (-a-9)
=4a+37
①から
y²+y-9=a
であるから
4a+37=0 すなわち
37
a=-
4
このとき, ①の解はy=-
=-1/2となり、②を満たす。
2次方程式
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から (03), (0, -3) で接する場合でα=±3
py2+qy+r=0の
2
2p
37
ゆえに,g(y)=y2+y-9として, -3≦y≦3 における z=g(y)
のグラフと直線 z=αの共有点を考えて解いてもよい。
定数αを右辺へ移項。
z=g(y)
A2
2 3
(1)-
-3
10 13
y
以上から、 求めるαの値は
重解はv=-
頂点のy座標に注目。
a=--
37
4'
±3
したがって
37
<a<-3
(2)放物線と円が4個の共有点をもつのは,右の図から,
放物線の頂点 (0, 4)が,点 (0,-3)から点(0-3)
を結ぶ線分上(端点を除く) にあるときである。
判断する。
104(1) この放物線と円が接するとき 定数αの値
放物線y=2x2+αと円x2+(y-2)²=1について、 次のものを求めよ。
(2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
p.173 EX 68
(I) z=g(y) のグラフと直線 z = α が接するか, 共有点のy座
標がy=±3となる場合を考えて
a=±3,
であるから, 右の図より
なる2つの共有点をもつ場合を考えて
(2) z=g(y) のグラフと直線z = αが,-3<y<3の範囲に異直線z=αを上下に動かして
(1)-
--3
(2)
-9
37
(1)
37
4
37
<a<-3
4
