定石
|55. 合同式
【 定石問題 M 55 レベル5類題2】
素数 p, g を用いて
pu+g
と表される素数をすべて求めよ。
定石ポイント
STEP1: 何で割った余りを考えるかを決める。
割る数を「合同式の法」といい, modnのように表す。
STEP2: 合同式の性質を用いて余りを考える。
【解答】
pa+g = N
とおく。 p, q がともに奇数とすると, N は偶数となる。また,p ≧ 3, g≧ 3
より, N≧54である。 これはNが素数であることに反する。 よって,p,q
の少なくとも一方は偶数である。
ことに気づく
もとめる素数をまずNeと。
具体的に数がわからないかみる。
また, p, q は素数であり,①はpと」に関して対称である。 よって,g=2
としてよく, ①は
N = p2+2P
220, p=2
とすると、
P=2ではなかった
N = 8
であり,これは N が素数であることに反する。よって,アは3以上の素数
である。
次に, p =3n±1 (nは2以上の整数) のとき, ★1 ★2
上式の
P⇓
=9n2 ±6n+1+ΣpCk3f(-1)P-k
N = (3±1)2 + {3+(リ
-{2
k=0
9m² ± 6n + _pCk3f(-1)P-k> +1 + (−1)”
k=1
_ は3の倍数であり,pは3以上の素数より、
1+ (−1)=0
よって, Nは3の倍数である。 また、
N = p2 + 2P > p2 ≧ 9
これは N が素数であることに反する。したがって, p は3の倍数である。
1
'STEP1:
何で割った余りを考えるかを決める。
STEP2:
合同式の性質を用いて余りを考える。
JOSM05505SI020013005
