白チャート数学Ⅲ 「複素数平面」の問題です。 赤線で囲まれた部分が分からない所です。 2cos2nπ/3という値が 出るところまでは分かるのですが、 なぜ急に「n＝3mのとき」や「n＝3m+1のとき」、「n＝3n+2のとき」と場合分けして計算しているのでしょうか？

複素数の累乗 (2) 発展例題22 基礎例題10 −1+√3 i\n 1-v3i\n nが負でない整数のとき, (-1/31)+(1/31) を簡単にせよ。 2 2 CHABL 複素数の累乗 & GUIDE (複素数)” にはド・モアブル (cosO+isino)"=cosno+isinne (nは整数) -1+√3i -1-√3 i をそれぞれ極形式で表し, 与式を変形する。 2 2 −1+√3 i =COS 12/23 x + isin 1/27a. 2 -1-3i=cos(12/2x)+isin(-1/3) 2nx i\n (-1+√/3i)*=cos 23 =COS +isin 2 3 (-1-√3)= cos(-2) +isin(-2) 2 2nπ 2nπ = COS -isin 3 3 2nπ ゆえに(-1)+(1-√3)=2 = 2 cos 2 2 よって, mを負でない整数とすると n=3m のとき 2nπ 2nπ =2m² すなわち 2 cos 3 3 n=3m+1のとき 2nπ 2 2nπ =2mx+ π すなわち 2 cos -=-1) €50 3 3 3 n=3m+2 のとき n=3m+2 のとき a"=q3md2=a2 4 2nπ 2nx 3 =2mx+ 2 cos すなわち =-1 B"=B3m B2=B2 3 3 a" +B=a²+B² 以上から、nが3の倍数のとき2nが3の倍数でないとき -1 =β+α=-1 n 1+√√ i\n\ 1-√ EX 22°nが負でない整数のとき, (Lv32)+(1-231)" を簡単にせよ。 解答 であるから =2 39 1章 発展学習 -1+√3i -1-3i と 2 2 は、実軸に関して対称で あるから 偏角 0は で考える。 20 cos 1/30, sin 10の周期 はともに3であるから n=3m, 3m+1, 3m+2 の場合に分ける。 1-1-18 −1+√3 i 参考 α= 2 −1−√3 i B= とおく 2 と α, βは1の3乗根 (p.22 参照) であるから α3=3=1 n=3m のとき α"=q3m=(α3)"=1=β" n=3m+1のと a"=α3ma=a B"=B3mB=B a"+β"=α+β=-1 詳しくは 数

下線部の式はどうやって出てきたのか教えてください。

48 の平方根,すなわち, =iを満たす複素数zをすべ て求めなさい. 方針 z = cos Otisin 0 とおいて,ド・モアブルの定 理を利用する.

この黄色の線の部分はなぜいるのでしょうか？ お願いしますm(_ _)m

基本 例題 15 複素数のn乗の計算 (1) ① 1+i 複素数 z= √3+i について, 2” が正の実数となるような最小の正の整数 n を求めよ。 [類 日本女子大] 基本 10,14 SOLUTION 複素数の累乗 ド・モアブルの定理 分母を実数化するとうまくいかない。 分母・分子をそれぞれ極形式で表してから, 1+i を極形式で表す (p.23 基本例題10 (1) 参照)。 √3+i z"=r" (cosno+isinne) が正の実数 cosn00 かつ sinn0=0 解答 1+ i, √3+ i をそれぞれ極形式で表すと 1+i 1+ i=√2 (cos+isin). √3+ i=2(cos+isin 7) /2 π TU COS +isin (7-6)} 2 4 6 4 √2 (cos 1/2+ π COS +isin 12 ゆえに 10 z" = (27)(cos 1+isin COS 12 =(√2 )" (cos 127+isin 127) n ①2" が正の実数となるとき COS 12>0, sin 127=0 n ゆえに =2m²(mは整数) 12 よって n=24m したがって、nが最小の正の整数となるのはm=1のときで あるから n=24 CHART よって ² 0 ↓ √3+i √3 0 TC π π 4 6 12 ド・モアブルの定理 sin0=0の解は 0=k(kは整数) [1]0=2m (mは整数)のとき COS0=1>0 [2] 0=(2m+1)π (mは整数) のとき cos0=-1<0 x 29 1章 2 複素数の極形式 ド・モアブルの定理

偏角がargα+2kπになるのはどうしてでしょうか？教えてください。

極形式を用いて, 方程式=1 を解け。 DE COM CHART & SOLUTION 複素数の累乗 ド･モアブルの定理 MOITU [1] z=r(cos0+isine) (x>0)とおく。 [2] 方程式 z"=α の両辺を極形式で表す。 [3] 両辺の絶対値と偏角を比較する。 偏角は arga+2km とする。 ・・・・・・ [4] の絶対値と偏角の値を求める。 kは整数 日は 0≦<2πの範囲にあるものを書き上げる。 04 konk

この問題で-π/4になるのはなぜですか？7π/4ではダメなのですか？お願いします！

B 基 本 例題 16 複素数のn乗の計算 (2) 複素数2がx+1/√2 を満たす。 1 zを極形式で表せ。 (2) 220+ [2] の値を求めよ。 〔中部〕 2 基本14 S OLUTION 複素数の累乗 ド・モアブルの定理 (1) 条件式を変形し、の2次方程式を導く。→解の公式から”を求める。 →この解を極形式で表す。 (2) ド・モアブルの定理を適用して 22 の値を求める。 ······ 両辺にzを掛けて整理。 -(-√2±√(-√2)2-4･1・1 解の公式を利用。 2 √√√2 ± √√2i_ = = √2 + √/2² 12+ 2 √2 == 1/1/2+1/1/2i=cos artisin/4/ i=COS 2-√2-√2=cos(-4)+isin (-4) CHART 解答 (1) 2 + ²/² = √2 +³5_2²³-√2z+1=0 これを解いて それぞれ極形式で表すと √2 0 14 00000 Tel

白チャート数学Ⅲの「ド・モアブルの定理」の問題です。 赤い四角の部分が疑問点です。 赤い四角には「z=cosθ+ℹ︎sinθと置く」と書かれていますが、　z=r(cosθ＋ℹ︎sinθ)と置くのではないのでしょうか？ 問題文の下のchart & guideに 「|z|^... 続きを読む

XAK 22 1のn乗根 基礎例題11 nは自然数とする。方程式 z"=1 を解け。 CHART GUIDE) 方程式 a"=1 の解法 る, 1を極形式で表してド·モアブル活用 よって2=cos0+isin@ と表される。1=cos0+isin0 |2『=1であるから|2|-1 から、"=1 の両辺の偏角を比較する。 解◆答 2"=1 のとき |2|=1 から |2|>0 であるから ゆえに2=Cos0+isin0 とおくと |『=1 ーxが実数で |2|-1 より h0 .0 1=cos 0+isin0 x"=1 ならば 2=COS nU+isin nd まだ nが奇数のとき x=1 よって coS n0+isinn0=cos0+isin0 nが偶数のとき の両辺の偏角を比較すると x=±1 2kx (kは整数) なお,nを自然数とする とき,n乗すると1にな n0=0+2kr すなわち 0= となる。逆に,kを整数として る数を1のn乗根とい う。 2k元 +isin 2k元 2=COS の とおくと る=1 が成り立つから,は1のn乗根である。 また,Zn+ と 2の偏角は 2x だけ異なり、絶対値はともに1で あるから Zn+ル=Z。が成り立つ。 よって,Oののうち,互いに異なるものは zo, 2, Z2 2ョ-1のn個で、0s0<2xの範囲で考えたものに等しい。 したがって,求める解は -れに 9- 2sず。 2k元 2k元 +isin n (k=0, 1, 2, 2=COS n-1) れ Lecture 1のn乗根 上の解でk=1 としたものを z」=COS 2元 2元 とおくと、ドモアブルの定理から +isin n 1のn個の n乗根は 1,z, 2, そして,これらを表す点は,単位円の円周のn等分点になっている。 2」 ガー1 で与えられる。 レ

複素数平面、ド･モアブルの定理の問題です。 (4)について。 2枚目のマーカー部分で、2つの方程式を比べて赤の下線部の式同士を=で繋げていると思うのですが、この方程式は元々z^5=0の変形でz-1=0がいえるため、赤の下線部が=で必ずしも結べる訳では無いのでは…と思ってしま... 続きを読む

00 ((1)~(3)金沢大 重要 例題171の5乗根の利用 複素数 α (α+1)を1の5乗根とする。 1 +-=0 であることを示せ。 1 Q? (2)(1)を利用して,t=α+aは+t-1=0 を満たすことを示せ。 2 (3)(2)を利用して, cos πの値を求めよ。 果 2 =ェ+isinー元とするとき, (1-α)(1-α")(1-α')(1-α*)=5である 2 (4) α=cOS 5 ことを示せ。 基本 15

この問題の3でなぜ2k＋1で負の実数となるのでしょうか？ よろしくお願いします

75 ド・モアブルの定理の利用 [2000 防衛大学校] 複素数 w=√3(1+i) +(1-i) について 次の問いに答えよ. (1) w²をa+bi (a,b は実数) の形で表せ. (2) w を極形式で表せ.ただし,偏角は0° 0 <360° とする. (3) 1から100までの整数 n で, w” が負の実数になるものをすべて求めよ. -80- TU (3) (2) からw"=(2√2)" cos xn+isin メ 12 12 xx)} これが負の実数のとき xn = (2k+1)(kは整数)と表される. 12 よってn=12 +24k k=0のとき n=12, k=1のとき n=36, k=2のとき n=60, k=3のとき n=84 MA k<0,3<kのとき, 1≦n ≦100 を満たさない。 AOBAO ゆえに, 求める整数nはn=12,36, 60,84

どうやってやったのか教えてください😭

TIH 2 1 2 18 8 10 (cos等+ sin 3 isin(5 16 V3 1 V3 1 1 ニ T =i 2 「16 2 2 32 32 1-51 ド.モアブルの定理から (cos0 +isin0 )2=cos20 +isin20 (Cos0 + isin 0)? - isin 30 (1) 10 -Tπ 3 in また -0 = cos?0 +2isin O cos0 +i?sin?a = cos?0 - sin?0+ i(2sin0 cos sin20 =2sin@cos0, cos20 = cos?0- sin'f の, ②から sin(6 18 (2) ド.モアブルの定理から (cos0+isin0)=cos30 + isin 30 er

数3の複素数平面について質問です。 ２行めのZn＋kの意味がわからないです。Znはどこから出てきたのでしょうか、、？また、どういう意味があるのでしょうか、、？ 教えていただけますと助かります！よろしくお願いいたしますm(*_ _)m

とおくと,ド·モアブルの定理より(zk)"=1が成り立つから, スkは1の n乗根である。。また, zn+k と スんの偏角は 2元だけ異なり,ともに絶対値 は1であるから 2n+k=スk が成り立つ。よって, ①の zkのうち, 互いに 15 異なるものは 20, 21, Z2, のn個である。 以上より, 次のことが成り立つ。 20 1のn乗根 自然数n に対して, 1 のn乗根は, 次の n個の複素数である 2kT +isin 2k元 る=COS n n (k=0, 1, 2, · , n