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基本 例題116 an+1=Dpa,+q型の漸化式
UF
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
a=6, an+1=4anー3
重要120, 基本129,132
ここまで,
p.558 基本事項 (2]
3 An+1
指針> an+1= pan+q(カキ1, qキ0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.558基本事項の
解説ので紹介した, 特性方程式を利用 する方法が有効である。
本間では, α=4a-3 を満たすαに対して, 次のように変形する。
新化式か
an+1=4a,-3
a
an+1-α=4(anla)
α=4a-3
an+1-α=4(a.-a)
CHART 漸化式 an+1=pa,+q 特性方程式 α=patqの利用
解答
Aa=4a-3の解は α=1
なお,この 特性方程式を
解く過程は, 解答に書かな
くてよい。
an+1=4an-3を変形すると
an+1-1=4(an-1)
bn+1=4bn, b.==a-1=6-1=5
よって,数列{bn} は初項5,公比4の等比数列であるから
ゆえに an=bn+1=5·4"1+1
an-1=bn とおくと
bn=5-4"-1
慣れてきたら, an-aのま
ま考える。
別解 an+1=4an-3
のでnの代わりにn+1とおくと
an+2=4an+1-3
の-0から an+2-an+1=4(an+1-an)
数列 {an} の階差数列を{bn} とすると
定数部分(「-3」) を消去。
bn+1=46m, bi=Q2-a=(4·6-3)-6=15
よって,数列{bn}は初項15, 公比4の等比数列であるから
Aa2=4a:-3
bn=15·47-1
ゆえに, n22のとき
n22のとき
15(4"-1-1)
n-1
an=Q」+ 2154k-1=6+
n-1
an=a+2b。
k=1
4-1
=1
=5-47-1+1
n=1のとき
5-4°+1=6
a;=6 であるから, ③ はn=1のときも成り立つ。
したがって
a,=5-4"-1+1
① 初項は特別扱い
(*)で数列{b}の一般項を求めた後は, 次のようにするとこの計算をしなくて済む。
(*)から
参考
an+1-an=1547-1
のを代入すると
(4a-3)-an=15·4"-1
したがって
a,=5-4-1+1
