青い部分がどうしてそういった考えになるのか、詳しく教えて頂きたいです🙇‍♀️

77 重要 例題45)因数分解ができるための条件 O{O 2+3xy+2y?-3x-5y+k がx, yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k の値を求めよ。また,その場合に,この式を因数分解せよ。 ら,46 【東京薬大) 基本 44 こと、 4 (S) 指針>与式がx, yの1次式の積の形に因数分解できるということは, (与式)=(ax+bytc)(x+qy+r)| 2章 の形に表されるということである。恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで は,与式をxの2次式 とみたとき, 30 とおいたxの2次方程式の 解がッの1次式 で なければならないと考えて,kの値を求めてみよう。 ポイントは,解がyの1次式であれば, 解の公式における、 内がyについての 完全平 方式[(整式)の形の整式] となることである。 9 解答 P=x°+3xy+2y?-3x-5y+kとすると P=x°+3(y-1)x+2y?-5y+k」 P=0 をxについての2次方程式と考えると,解の公式から -)(ロー イx°の係数が1であるから, xについて整理した方がら くである。 -3(y-1)土/9(y-1)-4(2y°-5y+k) X= 2 -3(y-1)±Vy?+2y+9-4k 大分 この2つの解をα, Bとす ると,複素数の範囲で考え て P=(x-α)(x-B) と因数分解される。 完全平方式 → =0 が重解をもつ →判別式 D=0/O 三 2 Pがx, yの1次式の積に因数分解できるためには,この解がy」 の次式で表されなければならない。 のよって,根号内の式 y?+2y+9-4k は完全平方式でなければな らないから,y°+2y+9-4k=0の判別式をDとすると D ー=12-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに k=2 5) よ4 _3y+3±(y+1) (20八0)0 十x( V(o+1)° =ly+1|である が,±がついているから, y+1の符号で分ける必要 このとき 三 X= 2 他 x=-y+2, -2y+1 P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)} =(x+y-2)(x+2y-1) すなわち はない。 よって 求める問 解と係数の関係、解の存在範囲

この問題について質問です。(ⅱ)はD/4についての吟味も必要なのに、なぜ(ⅰ)と(ⅲ)はそれがいらないんですか？？

60 第2章 複素数と方程式 問 25 解の配置2) 図の 実数a, bに対し,zについての2次方程式 zー2ar+b=0 は、 0SzS1 の範囲に少なくとも1つ実数解をもつとする.このとき,a 。 みたす条件を求め,点(a, b) の存在範囲を図示せよ。 て含 (大阪市立大) 解の配置をおさえるには, グラフの利用 解法のプロセス 解の配置 →精講 を考えます。具体的には 判別式 判別式 軸の位置 端点のy座標の符号 軸の位置 端点のy座標の符号 を調べます。 解答) f(x)=r°-2az+6 とおき,y=f(z) のグラフがェ軸と 0SzS1 の範囲で 少なくとも1つの共有点をもつための条件を軸z=a の位置で場合分けするこ とにより求める。 (i) a<0 のとき,条件は Jf(0)S0 ls(1)20 2a-1Sb<0 (i) 0Sas1 のとき,条件は(i) 判別式をDとすると a 0 [650 |1-2a+b20 すなわち 1 0S KeA Ku -N0 a al 「f(0)20 または Lf (1)20」 [a-b20 「b20 または 1-2a+b20」 0 すなわち b=d bt . bSa° かつ「b20 または b22a-1」 () a>1 のとき,条件は Jf(0)20 L(1)S0 b20 l1-2a+b<0 0SbS2a-1 11á (i)または(i)または価)をみたす点(a, b) を図示すると右 1 b=2a-1

この問題について質問です。(ⅱ)はD/4についての吟味も必要なのに、なぜ(ⅰ)と(ⅲ)はそれがいらないんですか？？

60 第2章 複素数と方程式 問 25 解の配置2) 図の 実数a, bに対し, エについての2次方程式 zー2ar+b=0 は、 0SrS1 の範囲に少なくとも1つ実数解をもつとする.このとき、 a 1 みたす条件を求め,点(a, b)の存在範囲を図示せよ。 て含 (大阪市立大) 解法のプロセス 精講 解の配置をおさえるには, グラフの利用 解の配置 を考えます。具体的には 「判別式 判別式 軸の位置 軸の位置 端点のy座標の符号 |端点のy座標の符号 を調べます。 解答 f(z)=z°-2az+6 とおき, y=f(z) のグラフがェ軸と 0Sz<1 の範囲で 少なくとも1つの共有点をもつための条件を軸=a の位置で場合分けするこ とにより求める。 (i)a<0 のとき,条件は Jf(0)S0 l(1)20 y a [650 1-2a+b20 . 2a-1Sb<0 0Sー 0< (i) 0Sa<1 のとき,条件は() 判別式をDとすると Keh Ned Oa al -20 「f(0)20 または f(1)20」 1a [a-b20 「b20 または 1-2a+b20」 bSa? かつ「b20 または b22a-1」 すなわち b=d° b4 () a>1 のとき,条件は [S(0)20 lf(1)S0 0Sb<2a-1 (i)または(i)または()をみたす点(a, b) を図示すると右 b20 すなわち 1-2a+b<0 11a 2 b=2a-1

（2）がなんで√2-1、√2＋1の円になるのかがよく分かりません。 説明をお願いします！！

例 題 45 点の存在範囲2 複素数a, Bは la-1|=1, I8-il=1 を満たす。 (1) α+8が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 (2)(a-1)(B-1)が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 (一橋大) え方 a-1=cosp+isinp, β-i=cosq+ising とおける。 (1) a+8=z として, (α-1)+(8-i)=z-1-i から点ぇの存在範囲を考える。 (2)(a-1)(B-1)-(cosp+isinp)(8-1) は, 点B-1を原点のまわりにpだけ同転 した点である。 解答(1) α+8=z とおくと, (α-1)+(8-i)=a+B-1-iより, z-1-i=(a-1)+(8-i) ① ここで、la-1|=1より, α-1=cos p+isinp (0sp<2x), 18-i1=1 より、B-i=cosq+isinq (0Sq<2x) とおける。よって, ①は, ス-1-i=(cos p+isinp)+(cosq+ising) ー(cos p+cosq)+i(sinp+sing) p+q p+q, -cos+2isin24cos,2 -2cos(cos +isin2) つまり,1a-1-1-4cos0.+ isin2a ここで、cos+isin -1 =2cos 2 0Sp<2x, 0Sq<2x より, ーxくく元 であるから, 0s|cos5|s1 したがって、のより, |zー1-il52 よって、a+B(ーz)の存在範囲は、点1+iを 中心とする半径2の円の内部および周上であり、 右の図の斜線部分(境界線を含む) (2) 18-il=1 より, 点Bは, 点iを中心とする半径1の円の周上を動く。 よって、点B-1は,点-1+iを中心とする半径1の円の周上の点である。 また,la-1|-1 より, α-1=cos p+isinp で あるから,(α-1)(8-1)=(cosp+isinp)(8-1) (0Sp<2x) で定まる点は,点-1+iを中心とす る半径1の円を, 原点のまわりに1回転した図形 を形成する。よって, (α-1)(β-1)の存在範囲は、 原点を中心とする半径/2-1の円と半径(2+1 の円とで囲まれた範囲であり, 右の図の斜線部分 (境界線を含む) 1v2+1 2+1 -V2-1 y2+L V2-1

この問題がわかりません。 全体を分かりやすく説明してくださると嬉しいです。 また、特に線を引いた部分がよくわかりません どうしてこの式が出てきたのでしょうか?? よろしくお願いします🙇‍♀️💦💦

第9章 微分法·積分法 59 Set Up 59 xy平面上の点 (a, b) を通り, 曲線 y=-x°+x に3つの相異なる接線が引けるとき、 点(a, b) の存在範囲を図示せよ。 (類南山大) 指針 接点が与えられていないので, 接点の座標を(t, -ピ+t) とおく。 点 (t, -ゼ+t)にお ける接線が点(a, b) を通るので, 接線の式に代入する。 A 3次曲線では接点が異なると接線も異なるので, (接点の個数) %3 (接続の本数) がいえる。 3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は (極大値) × (極小値)<0である。 B) (極大値)×(極小値)<0 の条件を連立不等式で表し, 領域を図示する。 ………C ソ=ーx°+x から ゾ=-3x°+1 曲線上の点(t, ーパ+t)における接線の方程式は yー(-ド+t)=(13+1)(x-t) すなわち y=(-3+1)x+2t° この直線が点(a, b) を通るから 6=(-3°+1)a+2t° 2-3at+a-6=0 よって 3次曲線では、接点が異なると接線も異なるから, tの方程式 ① の実数解の個数が,点(a, b) を通る接線の本数である。 ゆえに,接線が3本存在するには, ① が異なる3つの実数解をも てばよい。 f(t)=D2t°-3at?+a-bとする。 3次方程式f(t)30 が異なる3つの実数解をもっ条件は, 3次関 数f(t) が極値をもち, 極大値と極小値の積が負となることであ 3次方程式が異なる3つの実 数解をもつ条件は (極大値)×(極小値)<0 a=0 のとき極値をもたない ので、注意が必要。 る。 f'(t)=6t°-6at=6t(t-a) であるから, a=0のとき f(t) は極値 をもたない。 aキ0のときf()) はt30, aで極大値と極小値をとる。 よって,Dが異なる3つの実数解をもつ条件は aキ0 かつ f(0)S(a) <0 (a-b)( a-b)<0 (0)S(a) <0から [aーb>0 ー+a-b<0 a-b<0 よって または ー+a-b>0 わくa b>a ゆえに または b>-a°+a b<-a+a このとき,aキ0を満たす。 したがって,求める領域は 図の斜線部分。 ただし、境界線を含まない。 不等式で表された領域を図示 b4 b=a する。直線6=aは曲線 6=-a'+aの原点における 接線になっている。 曲線の上 a 下関係に注意。 (IC)では放物線と直線が2点 で交わっていた) a3ta

(1)で、ベクトルOEを示す時、もちろんベクトルOB＋ベクトルODで表せられると思うのですが、 ベクトルOC＋ベクトルOEではベクトル OB＋3ベクトルOAになってしまいますが、なぜダメなんでしょうか?

440 基本 例題38 ベクトルの終点の存在範囲 (2) 00 参き 事 (1) OP=sOA+tOB, 1sss2, 0%ts1 (2) OP=sOA+(s+t)OB, 0£s<1, 0St$1 p.433 基本事項 平面 の形 指針> (1) sとtは互いに無関係に動く。そこで, まずsを固定してすを動かすとよい 本事項23の解説を参照。 (2) OF=sOM+tON, 0Ss<1, 0Sts1の形 になれば、線分 OM, ON を隣り合う2辺とする平行四辺形の周と内部でホッ 特に 長を 解答 (1) sを固定して,OA'=sOA とすると OP=OA++OB ここで,tを0Sts1の範囲で変化さ せると,点Pは右の図の線分 A'C 上を動く。 ただし,OC'=0A'+OB 次に,sを1SsS2の範囲で変化させると, 線分 A'C' は図の 線分 AC から DEまで平行に動く。 ただし,OC=OA+OB, OD=20A, OE=OD+OB よって,点Pの存在範囲は OA+OB=0C, 20A=OD, 20A+OB=OE とすると,平行四辺形 ADEC の周と内部 である。 別解(1) 0Ss-1<1から s-1=s' とすると OF=(S'+1)0A+:0B =(s'OA+tOB)+0O そこでOQ=sOA+105 とおくと,0SSい1, 0StS1から, 点Qは平行 四辺形OACB の周と内部 C-C-E 斜交 B ら見 P tOB \sOA 0 A-A~D こと 【基 にある。 OP=0Q+OA から, 自卵 C の存在範囲は、平行四辺 OACBをOA だけ平行移 動したものである。 に をの R月お こま特長こ斜ら

(1)で、この条件ってこういう関係性にできますか？ また、無理ならなぜ無理なんでしょうか?

指針>(1) sとtは互いに無関係に動く。そこで, まずsを固定してtを動かすとよい。p.433基 440 OOO00 ベクトルの終点の存在範囲 (2) A0ABにおいて, 次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 (1) OF=sOA+tOB, 1Ss<2, 0%tS1 (2) OP=sOA+(s+t)OB, 0<sハ1, 0St%1 基本 38 例題 p.433 基本事項 2 指針>(1) sとtは互いに無関係に動く。そこで,まずsを固定してtを動かすとよい。カ422 本事項23の解説を参照。 (2) OF=sOM+tON, 0Ss<1, 0Sts1の形 [] になれば,線分 OM, ON を隣り合う2辺とする平行四辺形の周と内部である。 解答 (1) sを固定して, OA'=sOA とすると OP=OA'+tOB ここで,tを0いts1の範囲で変化さ せると,点Pは右の図の線分 A'C' 上を動く。 ただし,OC=OA'+OB 次に,sを1Ssい2の範囲で変化させると、 線分 A'C'は図の 線分 AC からDE まで平行に動く。 ただし,OC=OA+OB, OD=20A, OE=OD+OB よって,点Pの存在範囲は OA+OB=0C, 20A=OD, 20A+OB=OE とすると、平行四辺形 ADECの周と内部 である。 別解 (1) 0Ss-1<1から s-1=s' とすると OP=(s'+1)OA+1OB =(s'OA+fOB) +OA そこでOQ=s'OA+tOB とおくと、0Ss'い1, 0StS1から,点Qは平行 四辺形OACBの周と内部 B C-C~E P tOB \sOA 0 A-A~D にある。 OP=OQ+OA から, 点P の存在範囲は、平行四辺形 OACB をOA だけ平行移 動したものである。

指数対数 (1)と(4)でMaxminの出し方違うのは、(1て)では条件式があるからそれで文字消去してxかyの二次関数でるから領域の考え方使わなくても答えが出るけど、 (4)の条件式は文字消去が難しそうだけど変形すれば領域の考え方で解けるから(1)と違う解き方をしている... 続きを読む

ク II タ 2 カ ★** 31 15分] (1) ェ>0, y>0, a+2y=2 のとき 6o130+ 0, y で最大値 エオ をとる。 =T ) Pd とすると, 次の常, キ (2) ェ>0, y>0, a-2y=0 のとき (1950)(80) こにす 4 で最小となる。 トニの オカ) +36 (3) ォ>1, y>1として, a=log4I, b=logsy とする。 2a+36=3 ならば, #+yの最小値は キ である。 のまさが1枚につき 4%減 た。 また, ab= の炭置ねたときに通る光 ならば, yの最小値は ケコ である。 (4) 0<の<1, リ>0で, a, yが 満た (logio2)+ (log.o )。=logio.0"+log1oy を満たすとする。 X=log1o2, Y=logio/ とおくと 4-00 0 8 0.96m サ ら、ガラス板Aを何 +1Y- シ ス 成り が成り立ち, log1o2"yの 最大値は 4 まである。したがって、 最小値は チ である。 301、log3=0 そうれまねると、

三角関数 1枚目矢印の部分の考え方が分からないです。 2枚目のような図を書けば求められるのでしょうか？ 三角関数が苦手なので、丁寧に教えていただけると嬉しいです！よろしくお願いします🙇‍♀️

第8回 数学II· 数学 B解説 第1問 1 < cosβ<1, sin β>0 2 (1) k=D1のとき より 0<B< y= sin x + cos x =2 sin(ェ+) k=-1 のとき で,エ+β= のときに最大値をとるから、最 大値をとるときのエの値の範囲は そくェく y= sin x- cos I 2sin(ェ-号) よって,②のグラフは①のグラフをx 軸方向に また,||>1のとき 0<cos β< の 今だけ平行移動したグラフとなるので, k=-1 より のときのグラフは① である。 k=2 のとき そくB<受、一番くB<-年 であり、エ+B=号のときに最大値をとるから 最大値をとるときのェの値の範囲は 0<rく子またはそ元くエく元 y= sin z+ V2cos = 3sin(x+ a) 第1 (ただし、a はsina= V6 3 3 4 V3 である。 1 COS & = V3 3 を満たす値である。) V3 このとき リ= sinr+2cosr(k= 2) sin r+ COS I (k= sin a > cosa y= sinr (k= 0) (-)os等くcosa(= ) CoS (COS y= sin r-2cos r (k= -2) より 子くa<寄 である。よって, ③のグラフは①のグラフを軸 logy x > 1 logy エ> logy Y より 方向に一(α-4)だけ平行移動し, y軸方向に 0<y<1のとき、y>x y>1のとき、yく2 よって,真数条件より r>0に注意して,a, y J3 倍したグラフとなるので,k= 2のときの V2 YA 1 グラフはである。 (2) kの値に関わらず定点(z, y)を通るとすると の存在範囲を図示すると右 の図のようになるので,最 も適当なものはO である。 1 COS r = 0 であり,0Sxくπより =1 →O =,リ= sin号+kcos号 第粒 よって,y=f(z)のグラフは点(号, 1) を必ず (2) logy f(x) > 1について (1) f(z) = 2* のとき log, 2* > 1 :: log, 2" > logy ! 2 通る。 より 次に 0<yく1において, y> 2* y= sin x +kcos.x y>1において, y<2F I+° sin(z+B) k であるから,x, yの存在 YA (ただし,B は sinβ= 1+ を満たす値である。 ) 範囲を図示すると右の図 のようになり, 最も適当 なものは O である。 1 COs B= V1+k° O であり, 0<k<1のとき 合合

三角関数 1枚目矢印の部分の考え方が分からないです。 2枚目のような図を書けば求められるのでしょうか？ 三角関数が苦手なので、丁寧に教えていただけると嬉しいです！よろしくお願いします🙇‍♀️

第8回 数学II· 数学 B解説 第1問 <cos β<1, sin β > 0 2 (1) k=1のとき より 0<B< y= sin x+ cos I -2sin (エ+4) k= -1 のとき で, エ+β=号のときに最大値をとるから、最 大値をとるときのェの値の範囲は 子くょく号 y= sin x- cos x - 2sin(ェー号) よって,ののグラフは①のグラフを x軸方向に また,|>1のとき 0< cosβ< ;だけ平行移動したグラフとなるので, k=-1 より のときのグラフは① である。 k=2 のとき そく8く受、一番くB<-号 であり,エ+B=号のときに最大値をとるから 最大値をとるときのェの値の範囲は y= sin z+ 2cos.z = 3sin(x+a) 第1 3 2 0<ェく予または子元くェく元 (ただし、a は sin a= V6 V3 である。 1 Cos & = 3 3 を満たす値である。) このとき リ= sinr+2cos x (k= 2) sin a > cos a y= sin x+ COS I(k= y= sinr (k =0) (年 ()o等<cosa(= 4) COS y= sinr-2cosI (k=-2) より くa< logy > logy Y 4 logy z> 1 である。よって, ③のグラフは①のグラフを軸 より 方向に一(α-4)だけ平行移動し, y軸方向に 0<y<1のとき、 y>x y>1のとき,yくx 3 倍したグラフとなるので,k=2のときの V2 よって,真数条件より x>0に注意して, x, y 1 グラフは@である。 (2) kの値に関わらず定点(x, y)を通るとすると の存在範囲を図示すると右 の図のようになるので,最 も適当なものはO である。 O I COS I = 0 であり,0Szくπより T= 2 y= sin号+kcos%=1 第2前 よって, y=f(z) のグラフは点(号,1) を必ず (2) log』 f(x) >1について (i) f(x) = 2" のとき log, 2* > 1 :. logy 2" > log,! 通る。 より 次に 0<y<1において, y> 2F sin r + kcos I y>1において, y<2 V1+° sin(x+β) k 1+ であるから,エ, yの存在 範囲を図示すると右の図 のようになり,最も適当 なものはO である。 YA (ただし, Bは sinβ = 1 を満たす値である。 ) Cos β: 1+ であり, 0<k<1のとき 合合