例 題 45
点の存在範囲2
複素数a, Bは la-1|=1, I8-il=1 を満たす。
(1) α+8が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
(2)(a-1)(B-1)が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
(一橋大)
え方 a-1=cosp+isinp, β-i=cosq+ising とおける。
(1) a+8=z として, (α-1)+(8-i)=z-1-i から点ぇの存在範囲を考える。
(2)(a-1)(B-1)-(cosp+isinp)(8-1) は, 点B-1を原点のまわりにpだけ同転
した点である。
解答(1) α+8=z とおくと, (α-1)+(8-i)=a+B-1-iより,
z-1-i=(a-1)+(8-i) ①
ここで、la-1|=1より, α-1=cos p+isinp (0sp<2x),
18-i1=1 より、B-i=cosq+isinq (0Sq<2x) とおける。よって, ①は,
ス-1-i=(cos p+isinp)+(cosq+ising)
ー(cos p+cosq)+i(sinp+sing)
p+q
p+q,
-cos+2isin24cos,2
-2cos(cos +isin2)
つまり,1a-1-1-4cos0.+ isin2a
ここで、cos+isin -1
=2cos
2
0Sp<2x, 0Sq<2x より, ーxくく元
であるから, 0s|cos5|s1
したがって、のより, |zー1-il52
よって、a+B(ーz)の存在範囲は、点1+iを
中心とする半径2の円の内部および周上であり、
右の図の斜線部分(境界線を含む)
(2) 18-il=1 より, 点Bは, 点iを中心とする半径1の円の周上を動く。
よって、点B-1は,点-1+iを中心とする半径1の円の周上の点である。
また,la-1|-1 より, α-1=cos p+isinp で
あるから,(α-1)(8-1)=(cosp+isinp)(8-1)
(0Sp<2x) で定まる点は,点-1+iを中心とす
る半径1の円を, 原点のまわりに1回転した図形
を形成する。よって, (α-1)(β-1)の存在範囲は、
原点を中心とする半径/2-1の円と半径(2+1
の円とで囲まれた範囲であり, 右の図の斜線部分
(境界線を含む)
1v2+1
2+1
-V2-1
y2+L
V2-1
