例題
B1.54 確率の最大
納法
(119)
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校庭に,南北の方向に1本の白線が引いてある. ある人が、白線上の
A点から西へ5メートルの点に立ち、硬貨を投げて, 表が出たときは東
1メートル進み, 裏が出たときは北へ1メートル進む. 白線に達するま
で,これを続ける.
(1) A地点からnメートル北の点に到達する確率p を求めよ。
(2) を最大にする n を求めよ.
考え方 まず、nが2や3の場合を考える.
解答
n=3の場合,右の図のBが出発点Pが到達点
Pに到達するには,必ずQ を通ることになる.
BからQ までの道筋は通りだから,Qに到達する
確率は,C (2) また,QからPへ行く確率は1/12より
p3
(1)Aからnメートル北の点P に到達するには,
その1メートル西の点 Q を通らなければならない.
出発点をB とすると, B から Qへ行く場合の数
は, 44 通り
n+4
よって, 求める確率は,
pn=n+4C4
n+4
(n+4)!/1\n+5
==
n!4!
(京都大)
N
P
3
B
・5
B 4
2
Q&N
\+4
n
[HA
S
(2)
Pn+1
n+5Cal
Pn
=
2
n+6
n+5
c.(1/2)"
n+4Cal
n+5
2(n+1)
(n+5)! (2)
(n+1)!4!
(n+4)!
n!4!
(1)
2
n+6
n+5
B→Qn:
n+4C
Q.→P://
2
n+1
n!
1
(n+1)!
ここで,
pu+1-1=
n+5
3-n
--1=-
Pn
2(n+1)
2(n+1)
Pu+1と1との大小関係を
Pn
場合分けして調べる、
だから, n≦2 のとき,pu<pu+1
n=3 のとき, D3=pa
この例題の場合、+1>1,
PM
つまり,
よって," を最大にするnの値は,3または4
n≧4 のとき, Pu>pn+1
Þo<Þ₁<þ²<p3=p4>p5>p6>...
Pn+1=1,
Pn
PN+1 <1の3つ
PR
の場合分けが必要となる、
第1章
