= 2am + 3"(n= 1, 2, 3, .…)で定められた数列の一般項を
例題275 漸化式 an+1 = pan +q"
→例題274
a, = 6, an+1 = 2an +3" (n= 1, 2, 3,. )で定められた数列の一2
求めよ。
g"
Action 漸化式 an+1 = pa, +q" は,両辺を q"*で割って 6, ミ
an
解法の手順…
1漸化式の両辺を3*+1 で割る。
とおき,b,とbn+1の関係式をつくる。
3|2の漸化式から bnを求め,さらに an を求める。
する
める
an
2 bn =
3?
三
解答
漸化式 an+1 = 2a, +3" の両辺を3"+1 で割ると
2 an
1
- 語+より - +。
2a。
37+1
2an
3"
an+1
3*+1
2an
an+1
3*+1
. Cn
3 3
37
2i3
3+1
3+1
3
3"
3
3.37
37
1
ba+1 = - b+
an
とおくと
37
-bn+
3
三
ここで,bn =
3-3 =。
37+1
3
2
1
α+
3
;を満たす α=1 を用いて
これは,a=
t。
特性方程式 α= patq
3
の解を利用する。
bn+1 -1
3
(bn-1)
p+ 0d 4nD
と変形できる。
よって,数列{bm-1} は初項 b」-1=1, 公比 -の等比数
2
a1
=2
3
3
n-1
2
d3>3 ロー
ba336, d4
る 味料(,0)
列であるから
b,-1=1-
3
n-1
ゆえに
bn
2
+1
3
したがって
an = 3"· bm =3·2"-1 +3"
3.2"-1+37
2"-1
37.
= 3·2"-1
三
37-1
