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数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...) をみたす
ものとする。このとき、次の(1), (2), (3)を示せ .
(1) n=1,2,3,
に対して,0<an <3
\n-1
(2)n=1,2,3,… に対して, 3-ans (1/2)^^ (3-42)
3-an≦
² (3-a₁)
(3) liman=3
12400
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき、ま
ず,帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→
「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています.
(3) 44のポイントの形になっています。臭いプンプンというところでしょう.
|精講
解答
(1) 0<an<3 ･･① を帰納法で示す。有
(i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ① は成りたつ.
(ii)n=k(k≧1) のとき,0<a<3 と仮定すると、 1<ak+1 < 4
:: 1<√1+ak <2<2<1+√1+ak <3√2173
12 < ak+1 <3
よって,0<ak+1 <3 が成りたつ。
(i), (ii) より , すべての自然数nについて, ① は成りたつ.
(2) an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1
をつくると
右辺にも3-an がでて
くる
ħi= (2¬√1+an)(2+√1+an)
2+√1+an
(1)より
1<√√1+an <2⇒3<2+√1+an<4
3-an>0 だから、
=
3-an
2+√√1+an
WASSA
==/=/< 2+√²+ a₂
(3-an)
^2+√1 + a₂ <=
3-an
2+√1+ an
3-an+1 <= (3-an)
