Question

tkhsre

波戦が引いてあるところがどうしてこうなるのか分かりません。

7.2つの曲線 y=ex2 と y=-ex2+4について,次の問
いに答えよ.
(1) この2つの曲線の交点の座標を求めよ.
(2) この2つの曲線で囲まれた部分をy軸のまわり
に1回転してできる回転体の体積を求めよ.
【解説】 (1) ex2=-2+4より,
2ex2=4 : er'=2….… ① ‥. x2=log2
よって、求める交点は (y座標には ①を用いて),
(-√log2, 2), (√log2, 2)
(2)y=exとy=-ex2+4
は,xを-x に変えても式
は変わらないので、 共に
y軸について対称です.
..
2=5₁²xx²dy + S*xx²dy
②=S
そこで,第一象限だけを
√log2
√log2
見て、網目の部分をy軸の
まわりに回転させますが、この立体は、微小な円盤
dy (=uxdy) , yが1から3まで足し
( 14 神奈川大・理, 工)
=T
=r logudy + log(4-y)dy
3
集めたものです。 求める体積をVとすると,
V= = S₁₁лx² dy
ここで, x2はyで表すことができますが,途中
y=2 の前後で淵のグラフが変わることに注意しましょ
う
1≦y≦2のとき、y=er2 より,x2=logy
2≦y≦3のとき、y=-er2+4より,x2=log (4-y)
です.
よって, ④=2×π ･ ③ より
Y₁ y=ex²/
13
④=2π
™ |
J
で
1
O
4
3
~は, 4-y=t と置換しましょう.y: 2→3のとき,
t: 2→1であり, dy = - dt なので,
2
--S' logt(-dt) = Slogtdt=③
積分変数 (dの変数)は,積分計算だけに使わ
y=-ex2+4
れるので, Sof(x)dx でも S' f(u) du でも
でも同じ
IC
2
logydy=2x[ylogy-u]=(4log2-2)z

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

④式の波線部分を4-y=tで置換したら、
∫[1→2]logtdtになりました。
すぐ下のカッコ内にあるように、この定積分は、tをxにしようがyにしようが、定積分の値は変わりません。
つまり、∫[1→2]logtdtは∫[1→2]logydyとしても差し支えないということです。だから④式の波線部分は③式と同じと考えて、
④式＝π×③+π×③
　　＝2×π×③
としているのです。

いかがでしょうか。

tkhsre

なぜtの部分をほかの文字で置いても等しいことになるのでしょうか？
この手法をどんな積分にも使えるのですか？それとも、特別この問題のようなパターンのみとかですか？

きらうる

＞この手法をどんな積分にも使えるのですか？それとも、特別この問題のようなパターンのみとかですか？

前提として、あなたの最初の写真の～？の上の[]部分は、不定積分や関数では使うことはできません。

＞なぜtの部分をほかの文字で置いても等しいことになるのでしょうか？
簡単な例で説明します。というか当たり前の話なのですが、
∫[0～1]xdx＝[1/2x²][0～1]＝1/2
∫[0～1]tdt＝[1/2t²][0～1]＝1/2
xを積分する、tを積分する、範囲が同じなら、当然値も同じです。
しかし、不定積分だと
∫xdx＝1/2x²+C
∫tdt＝1/2t²+C
と違う式になってしまいます。

いかがでしょうか。

tkhsre

なるほど。わかりました。
この計算は、置換してtについての積分の式にしたら、文字が違うだけで形は置換していない部分と同じになったから、×２で最終的には書き換える事ができるということですね。
理解できました。ありがとうございました。