教えてください🙏

A 118 多項式 P(x) をx-5で割ると8余り, x+4で割ると19余る。 P(x) をx-x-20 で割ったときの余りを求めよ。 〔類 日本大〕 0

なぜここでは商のQ(x)を更にx－1で割ってるのですか？

Check! 例題 56 剰余定理(2) CIBOA *** 整式P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1,x-1で割ると 余りは11のとき, P(x) を x-1で割った余りを求めよ. (東京電機大・改) 考え方 x-1=(x-1)(x2+x+1) である」 "{S+(S-x)}(S) P(x)=(x²+x+1)Q(x)+x+1,Q(x)=(x-1)Q'(x)+α とおくと, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 Poal beh =(x-1)(x²+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1となる。焼 1 解答 P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると、余りは x+1 より, ^ (1) 46 + - = (1) J P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1° ...... ① (8) A さらにQ(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 a とすると, ? Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ...... ② ② を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 P(x) を x-1で割ると余りは11より, したがって ③より. =(x-1)(x²+x+1) Q'(x)+ a(x²+x+1)+x+1et =(x-1)Q'(x)+α(x²+x+1)+x +1 ..... ③ "(SŤ (S) P(1)=11 P(1)=α (12+1+1)+1+1=11 43 a=3 よって, 求める余りは, 3(x2+x+1)+x+1=3x2+4x+4 1次式で割ったときの 余りは定数 BRE 剰余の定理)

余りはどういう時に、ax^2+bx+cになるんですか？ 教えてください🙏🙏🙏🙏

90 00000 基本例題 54 剰余の定理利用による余りの問題 (2) 整式P(x) を x+1で割ると余りが -2, x-3x+2で割ると余りか-3x+7であ 重要 55 るという。このとき,P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割った余りを求めよ。 指針 例題 53 と同様に, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 C 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax+bx+c とおける。 問題の条件から,このα, b,cの値を決定しようと考える。 別解 前ページの 別解 のように、文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で 割ったときの余りを、更にx3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割った余りを考える。 解答 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x), 余り をax2+bx+cとすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bx+c・ ここで, P(x) をx+1で割ると余りは-2であるから P(−1)=-2. ② 11-217 P(x)=(x-1)(x-2)Q1(x)-3x+7 また, P(x) を x² - 3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割ったとき の商をQ(x) とすると ゆえに P(1)=4 よって, ①② ~ ④ より a-b+c=-2, a+b+c=4, 4a+2b+c=1 a=-2, b=3,c=3 -2x²+3x+3 ...... この連立方程式を解くと したがって 求める余りは EUR [LOT 4/4 A P(2)=1 ...... ...... ① 基本53 038 A 3次式で割った余りは, 2 次以下の整式または定数。 <B = 0 を考えて x=-1, 1,2 を代入し, a,b,cの値を 求める手掛かりを見つける｡ (第2式) (第1式) から 266 すなわち6=3 ²030 FE ! と 両辺 10に

(2)で、p(1)、p(2)ではダメな理由が知りたいです。🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

88 基本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) (1) 整式P(x) をx-1で割ると余りは5,x-2で割ると余りはと *-* とき,P(x) をx-3x+2で割った余りを求めよ。 + XD- (2) 整式P(x) x-1で割ると4x-3余り, xー4で割ると3x+5余る。 とき,P(x) をx2+3x+2で割った余りを求めよ。 + "xD+ CHART 割り算の問題 バカにされていないかの漁を求めるわけ い。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+6 とおける。 特に, 余り R の次数が割式B の次数より低いことが重要なポイント! 条件から、このa,b の値を決定しようと考える。それには、割り算の等式 A=B0% で, B=0 となるxの値 (これを●とする)を考えて, P(●) の値を利用する。 CROSSISTENT P(1)=5 P(2)=7 ①,②を連立して解くと 条件から 解答 (1) P(x) をx2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x), acf 余りをax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bB=(x-1)(x-2) 基本等式 A=BQ+R ① R の次数に注意 2 B=0 を考える ゆえに ゆえに ①から P(-1)=-7 ② から P(-2)=-1 ③,④を連立して解くと a+b=5 2a+b=7 a=2, b=3 よって, 求める余りは 2x+3 (2) P(x) をx2+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき 商をQ(x), 余りをax+b とすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b また, P(x) を x2-1, x2 - 4 すなわち (x+1)(x-1), P(x)=(x+1)(x-1)Qi(x)+4x-3 P(x)=(x+2)(x-2)Qz(x)+3x+5 0000 ...... 11 ② 練習 (1) 整式 P(x) x+2で割った ② 253 をx2 (x)q 基本52 これとイから -a+b=-7 これとイから -2a+b=-1 a=-6, b=-13 - ■2次式で割った余りは、 1次式または定数。 (x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれ Qi(x), Qz(x)と)には,P(-1), P(-2)が すると 要。 そこで, ①,②にそれ ① 20ぞれx=-1, x=2を代 入する (3) 整式 ペーシ この。 剰余定理。 また,⑦ 両辺にx=1 を代入する と P(1)=a+b 割り算の基本 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 &B=(x+1)(x+2) q a,b の値を決定するため ます 余り ズ ......st 求める余りは-6x-13 S>NTJES

中心のほうに、太文字で「あまりはax+bとおける」とありますが、なぜでしょうか？ nが4などの場合二次式でもありえるとおもうのですが、どうでしょうか？？

重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1) 00000 2以上の自然数とするとき､x"-1を (x-1)で割ったときの余りを求 [学習院大 ] めよ。 (2) 3x100+ 2x97 +1 を x 2 +1で割ったときの余りを求めよ。 解答 ■基本 53,54 指針▷実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, 割り算の問題 等式 A = BQ+R の利用 331-(54 R の次数に注意, B = 0 を考える がポイント。 (1),(2) ともに割る式は2次式であるから、余りはax + b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで,次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α°=1, 6°=1 a"-6"=(a-b)(a-1+α"-26+α"-362+..+ab^2+b^-1) (2) x2+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A,Bが実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 利用 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

剰余の定理　　至急お願いします！　 この問題が解けません。教えてください🙇 答えは 21・（ア）2（イ）−4（ウ）8（エ）32 22・P（X）＝x^3-7x^2+13x-2 23・a＝4、b＝9、その他の解x＝1−2i、2

P 100 剰余の定理, 高次方程式 21. xについての整式 P(x)=x+αx²-16がx-2で割り切れるとき, α= a= である。 また, このとき P(x)=0の虚数解をα, β とすると, α+B=1, αβ="α3+B°=であ a る。 ((ア) 5点 (イ) (ウ) 5点,(エ) 5点) 〔成蹊大 〕

この解き方じゃダメな理由を教えて欲しいです よろしくお願いします🙏

0000 -3x+70a を求めよ。 53 ける。 1)(x-2)で 余りを考える。 つった余りは、こ 式または定数。 かりを見つける。 下の練習50 有効である。 割ったときの すると、 2) Q(x) -2) +R(x) +al+R(x) を代入。 がらであ 電機大) 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り 000 (1)を2以上の自然数とするとき､x-1 を (x-1)" で割ったときの余りを求 【学習院大) (2) 3.x+2x7 +1をx+1で割ったときの余りを求めよ。 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 .88~90 でも学習したように､ ① 割り算の問題 等式 A-BQ+R の利用 Rの次数に注意 B=0 を考える がポイント。 (1) (2) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが、それだけでは足りない。 そこで、次の等式を利用する。 ただしnは2以上の自然数 α=1,0=1 a”—b²=(a−b)(a +a*b+a b²+ + ab + b¹) (2)x+1=0の解はx=± x=iを割り算の等式に代入して、 複素数の相等条件 A. B が実数のとき A+ Bi=0A=0.B=0 を利用。 (1)x1(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b (1) 二項定理の利用。 とすると、次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 x-1=(x-1) Q(x) +ax+b...... ① =.Ca(x-1)*+..+αCa(x-1) +Cl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^2+..+*C2) 両辺にx=1 を代入すると ① に代入して x-1=(x-1)* Q(x)+ax-a 0=a+b すなわち b=-a =(x-1){(x-1) Q(x)+α} ここで、x-1=(x-1)(x-1+x+.・.・.・+1) であるから +++1=(x-1)Q(x)+a この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=a b=-αであるから ゆえに、求める余りは nx-n (2) 3x+2x+1をx+1で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると､次の等式が成り立つ。 x+2x+1=(x+1)Q(x)+ax+b 両辺にx=i を代入すると 31¹00+21+1=ai+b it = (r)=(-1)=1, = (r) i=(-1)*i=i であるから 3-1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai すなわち a b は実数であるから したがって、求める余りは 基本 53.54 bn a=2, b=4 2x+4 ¥55 (2)x+4で割ったときの余りを求めよ。 +nxn ゆえに、余りはnx-n また、(x-α)の割り算は微 分法(第6章)を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)｡ 微分法を学習す る時期になったら、ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 以上の自然数とするとき､ x を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 Cp.94 EX39 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

この問題の(1)の奇数の場合でどうしてxが残るのですか？

大] 京都薬大〕 利工大] 中央大〕 I 0) が P(x) の ■・・・・･ 214 B 問題 nを正の整数とし, 整式 P(x)=x3n+(3n-2)x2n+(2n-3)x"-² を考 える｡ (1) P(x) を x2-1で割った余りを求めよ。 (2) P(x)がx2-1で割り切れるようなnの値をすべて求めよ。 [13 愛知教育大 〕 211 f(x) を2通りに表す。 ヒント」 213 (1) 整式Q(x) を x+1で割ったときの商をR(x) とすると Q(x)=(x+1)R(x)-1 214nが偶数か奇数かによって, (-1)3", (-1) の値は変わる。

写真の問題で剰余の定理を用いて、別解の手順から a=2 b=8と求まるところまではわかるのですが、なぜ 元の整式P(x)の余りであるR(x) ax²+bx+cを出す時にR(x) ax²+bx+c に式にa=2 b=8を代入するのではなく、R(x)=(ax+b)(x-3)+2... 続きを読む

(1) 整式P(z) をx1, x2, x3でわったときの余りが そ れぞれ 6, 14, 26 であるとき, P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で わったときの余りを求めよ. (別解) P(z)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(x) P(x)はx-3でわると26余るので R(x) もェ-3でわると26余る. よって, R(z)=(ax+b)(x-3)+26 とおける P(1)=6, P(2)=14 だから, R(1) =6,R(2) = 14 わったときの商 -2a-26+26=6 -2a-6+26=14/ (R(x) は2次以下の整式) [a+b-10=0 2a+b=12=0 <ポイント ax+bはx-3で .. a=2.6=8 よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26 =2x²+2x+2

写真の(1)の問題についてですが、なぜR(x)をx-3て割った時の商がax+bと表せるのですか？

(1) 整式P(x) をx-1, x-2, x-3でわったときの余りが, そ れぞれ6, 14, 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で わったときの余りを求めよ. (2) 整式 P(z) を (z-1)でわると, 2x-1余り,x-2でわると 5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ. 精講 (1) 25 で考えたように,余りはax²+bx+c とおけます. あとは, a,b,c に関する連立方程式を作れば終わりです。 しかし、3文字の連立方程式は解くのがたいへんです。 25 参考 の考え方を利用すると負担が軽くなります。 7 (2)余りをax+bx+cとおいても P(1) と P (2) しかないので、未知数3つ 式2つの形になり, 答はでてきません。 解答 (1) 求める余りはax2+bx+c とおけるので, P(z)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax+bx+c と表せる. P(1)=6, P(2)=14, P(3) = 26 だから, [a+b+c=6 4a+2b+c=14 9a+3b+c=26 ...... 【3次式でわった余り は2次以下 連立方程式を作る (3) 1, 2, 3th, a=2, b=2, c=2 よって, 求める余りは 2x2+2x+2 注 250 の考え方を利用すると、次のような解答ができます。 (別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(z) +R(z) (R(x) は2次以下の整式) P(x)はx-3でわると26余るので R(x) もx-3でわると26余る. 【ポイント よって, R(x)=(ax+b)(x-3)+26 とおける. ax+bはx-3で P(1)=6, P(2)=14 だから, R(1) = 6, R(2)=14 わったときの商