Question

たたた

写真の問題で剰余の定理を用いて、別解の手順から
a=2 b=8と求まるところまではわかるのですが、なぜ
元の整式P(x)の余りであるR(x) ax²+bx+cを出す時にR(x) ax²+bx+c に式にa=2 b=8を代入するのではなく、R(x)=(ax+b)(x-3)+26の式にa=2 b=8を代入するのですか？

(1) 整式P(z) をx1, x2, x3でわったときの余りが そ
れぞれ 6, 14, 26 であるとき, P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で
わったときの余りを求めよ.
(別解) P(z)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(x)
P(x)はx-3でわると26余るので
R(x) もェ-3でわると26余る.
よって, R(z)=(ax+b)(x-3)+26 とおける
P(1)=6, P(2)=14 だから, R(1) =6,R(2) = 14 わったときの商
-2a-26+26=6
-2a-6+26=14/
(R(x) は2次以下の整式)
[a+b-10=0
2a+b=12=0
<ポイント
ax+bはx-3で
.. a=2.6=8
よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26
=2x²+2x+2

Answer 1

Jin

R(x)について「2次以下の整式」である以外に「x-3で割った余りが26」であることがわかっています。
単に2次以下の整式であれば、おっしゃるように
R(x)=ax²+bx+c
などと3つの文字を用いて表すしかありませんが、今回はもう一つの条件より
R(x)=(ax+b)(x-3)+26
と2つの文字だけで表すことができます。